Mostrar $\lim_{R\to\infty}\int_T \frac{p(z)}{q(z)}dz=0$ si $T$ es un círculo de radio R y $deg(q)\ge deg(p)+2$

Question

Mostrar $\lim_{R\to\infty}\int_T \frac{p(z)}{q(z)}dz=0$ si $T$ es un círculo de radio R y $deg(q)\ge deg(p)+2$ .

Me quedé atascado en esta etapa, si tomo una parametrización $\phi(t)$ Lo entiendo: $$\|\lim_{R\to\infty}\int_T \frac{p(z)}{q(z)}dz\|\le\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{2\pi} \|\frac{p(\phi(t))}{q(\phi(t))}\|\|\phi'(t)\|dt$$ ahora estoy tratando de mostrar que $\|\frac{p(\phi(t))}{q(\phi(t))}\|\alpha \frac{1}{R^2}$ que tienen sentido, pero, no pude demostrarlo.

Answer 1

Aquí hay una pista, a partir de la cual deberías ser capaz de terminar fácilmente el problema. Comienza por demostrar el siguiente lema importante:

Lema . Si $f$ es un polinomio mónico de grado $n$ entonces existe un $R > 0$ tal que

$$|z| \ge R \implies \frac 1 2 \le \frac{|f(z)|}{|z|^n} \le 2.$$

Esto es sólo una versión cuantitativa de lo que se pretende.

Para demostrarlo, escribe $f(z) = z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + ... + a_0$ y ver qué pasa cuando se divide por $z^n$ .