Tendencias Large-n de $\sum_{k=1}^n {2n \choose n+k} (-1)^k k^m $

Question

Jack D'Aurizio mencionó varias sumas de la forma $\sum_{k=0}^n {2n \choose n+k} (-1)^k k^m $ para un número entero no negativo $m$ en su respuesta a mi pregunta aquí .

Lo cito aquí, y observo que cada una de las sumas en el límite de n grande, salvo la $m=2$ el caso se parece a $O(1){2n \choose n} $ aunque la dependencia de k parece bastante diferente:

$$ \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k}(-1)^k = \frac{1}{2}\binom{2n}{n}$$ $$ \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k}(-1)^k k = -\frac{n}{4n-2}\binom{2n}{n} \approx -\frac{1}{4}\binom{2n}{n}$$ $$ \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k}(-1)^k k^2 = 0 $$ $$ \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{n+k}(-1)^k k^3 = \frac{n^2}{2(2n-1)(2n-3)}\binom{2n}{n} \approx \frac{1}{8} \binom{2n}{n}$$

Con la ayuda de Mathematica, veo el siguiente límite grande-n:

$$\sum_{k=1}^{n}\binom{2n}{n+k}(-1)^k \frac{1}{k} \approx -\ln(2)\binom{2n}{n}$$

Desde ${2n \choose n}$ aumenta con n, podemos unificar todas estas sumas, modulando algunos términos O(1), en la forma $\sum_{k=1}^n {2n \choose n+k} (-1)^k k^m $ . Si existe una forma cerrada para todas esas sumas, sería increíble, pero dada la naturaleza cada vez más complicada de las sumas de potencias más altas de k, creo que mirar el límite grande-n con su forma potencialmente simple es más fructífero.

Creo que estas sumas son muy buenas. Típicamente uno esperaría que una dependencia decadente de k encogiera la suma, pero para grandes n la magnitud de esta $m=-1$ parece mayor que la del $m=0$ caso, probablemente debido a la interacción con el $(-1)^k$ término. Anticipo que para magnitudes mayores, las potencias negativas $m$ que la magnitud disminuiría. No confío en una mayor magnitud, las potencias positivas $m$ especialmente si se tienen en cuenta las divertidas tendencias de $m=0$ a $m=3$ .

Así, mi pregunta es si para todas las potencias enteras m la suma $\sum_{k=1}^n {2n \choose n+k} (-1)^k k^m $ tiene la forma $f(m) {2n \choose n}$ a gran n y cuál podría ser la función f(m).

Answer 1

Es extraño que una fórmula que desenterré de mi garaje de hace más de 20 años responda a dos problemas diferentes en el mismo día. La primera fórmula la puse en el MSE 2824592 hace apenas unas horas.

$$ (A)\,\,\,\,\,\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{2n}{n+k} k^s = \binom{2n}{n} \sin(\pi s/2) \int_0^\infty \frac{dx \, \,x^s}{\sinh{\pi x}} \frac{n!^2}{(n+ix)!(n-ix)!}. $$

Para $s=2m,$ se ve fácilmente que la RHS es 0. Establecer $s=2m+1$ y ampliar la relación de las funciones gamma,

$$ \sum_{k=1}^n (-1)^{k} \binom{2n}{n+k} k^{2m+1} = \binom{2n}{n} (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{dx \, \,x^{2m+1}}{\sinh{\pi x}} \big(1+\frac{x^2}{n} + ...\big). $$ Las integrales son conocidas por Mathematica y el resultado es $$ \sum_{k=1}^n (-1)^{k} \binom{2n}{n+k} k^{2m+1} = \binom{2n}{n} (-1)^{m+1}\big(c_{2m+2} + \frac{c_{2m+4}}{n} + ... \big) $$ donde $$c_{n}= (2-2^{1-n})\frac{\zeta(n)}{\pi^n}(n-1)! $$