Resolución de la EDO $y(1+\sqrt{x^2 y^4+1})dx+2xdy=0$

Question

Pregunta:

Resuelve la EDO dada a continuación:
$y(1+\sqrt{x^2 y^4+1})dx+2xdy=0$

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Mi intento:

La ecuación no es separable porque una función de $x$ se añade a una función de $y$ .
( $y+y\sqrt{x^2y^4+1}$ )
Además, no es lineal con respecto a $x$ o $y$ porque tiene el término $\sqrt{x^2y^4+1}$ .
Por otro lado, no es una EDO completa porque $\frac{d}{dy}(y(1+\sqrt{x^2 y^4+1})) \neq \frac{d}{dx}(2x)$
También he probado las ODE homogéneas. Pero este ODE no es homogéneo. Tampoco parece ser una ED de Clero.

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¿Alguna idea?

Gracias de antemano.

Answer 1

$$y(1+\sqrt{x^2 y^4+1})dx+2xdy=0$$ $$2xyy'=-y^2(1+\sqrt{x^2 y^4+1})$$ $u(x)=xy^2 \quad\to\quad u'=y^2+2xyy'=y^2-y^2(1+\sqrt{x^2 y^4+1})=-y^2\sqrt{x^2 y^4+1})$ $$xu'=-xy^2\sqrt{x^2 y^4+1})=-u\sqrt{u^2+1}$$ $$\frac{u'}{u\sqrt{u^2+1}}=-\frac{1}{x}$$ $$\int\frac{du}{u\sqrt{u^2+1}}=-\int\frac{dx}{x}$$ $$\ln|u|-\ln|1+\sqrt{u^2+1}|=-\ln|x|+\text{constant}$$ $$\frac{u}{1+\sqrt{u^2+1}}=\frac{c}{x}$$ $$u=\frac{2cx}{x^2-c^2}$$ $$y^2=\frac{u}{x}=\frac{2c}{x^2-c^2}\quad\to\quad y=\pm\sqrt{\frac{2c}{x^2-c^2}}$$ Al volver a introducirlo en la ODE se ve que está de acuerdo.

Answer 2

Bueno, lo hemos hecho:

$$\text{y}\cdot\left\{1+\sqrt{1+x^2\cdot\text{y}^4}\right\}\space\text{d}x+2x\space\text{d}\text{y}=0\tag1$$

Dejemos que $\text{y}\left(x\right)=\frac{\text{p}\left(x\right)^\frac{1}{4}}{\sqrt{x}}$ , lo que da:

$$\frac{x\cdot\text{p}\space'\left(x\right)+2\cdot\text{p}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}{2\sqrt{x}\cdot\text{p}\left(x\right)^\frac{3}{4}}=0\tag2$$

Así, para $\text{p}\space'\left(x\right)$ :

$$\text{p}\space'\left(x\right)=-\frac{2\cdot\text{p}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}{x}\tag3$$

Dividir ambos lados por $\text{p}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}$ :

$$\frac{\text{p}\space'\left(x\right)}{\text{p}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}=-\frac{2}{3}\tag4$$

Integrar ambos lados con respecto a $x$ :

$$\int\frac{\text{p}\space'\left(x\right)}{\text{p}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}\space\text{d}x=\int-\frac{2}{3}\space\text{d}x\tag5$$

Lo que da:

$$\ln\left|\frac{1-\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}{1+\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}\right|=\text{C}-2\ln\left|x\right|\tag6$$

Tomando $\exp$ de ambos lados, da:

$$\left|\frac{1-\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}{1+\sqrt{1+\text{p}\left(x\right)}}\right|=\frac{\text{C}}{\left|x\right|^2}\tag7$$

Establecer $\text{y}\left(x\right)=\frac{\text{p}\left(x\right)^\frac{1}{4}}{\sqrt{x}}$ atrás:

$$\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2\cdot\text{y}\left(x\right)^4}}{1+\sqrt{1+x^2\cdot\text{y}\left(x\right)^4}}\right|=\frac{\text{C}}{\left|x\right|^2}\tag8$$

Answer 3

Configuración $$y(x)=\frac{\sqrt{u(x)}}{x}$$ después de simplificar obtenemos $$\frac{du(x)}{dx}=-\frac{\left(\sqrt{u(x)+1}\right)u(x)}{x}$$ y luego integrar $$\int\frac{\frac{du(x)}{dx}}{\left(\sqrt{u(x)+1}-1\right)u(x)}dx=-\int \frac{1}{x}dx$$ y obtenemos $$\frac{1}{2}\log\left(1-\sqrt{1+u(x)}\right)-\frac{1}{2}\log\left(1+\sqrt{1+u(x)}\right)-\frac{1}{-1+\sqrt{1+u(x)}}=\log(x)+C$$