Si $f(0)=0$ y $0\le f'(x)\le2f(x)$ para todos $x\in(0,1)$ , demuestre que $f\equiv0$ .

Question

Dejemos que $f: [0,1]\to \Bbb R$ sea una función continua tal que $f(0)=0$ y es diferenciable en $(0,1)$ . Además, sabemos que $0\le f'(x)\le2f(x)$ . Demostrar que $f=0$ .

Sé que si la función $f$ es continua en $[a,b]$ diferenciable en $(a,b)$ y $f'(x) = 0$ en $(a,b)$ entonces $f$ debe ser una función constante en $[a,b]$ .

Pero no sé muy bien cómo utilizar la desigualdad.

Answer 1

Desde $f(0)=0$ y $f'(x)\ge 0$ en $(0,1)$ , $f(x)\ge 0$ en $[0,1]$ . Dejemos que $g(x)=f(x)e^{-2x}$ en $[0,1]$ . Entonces $g$ es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ . Por un lado, $g(x)\ge 0$ en $[0,1]$ . Por otra parte, dado que $g(0)=0$ y $g'(x)=e^{-2x}(f'(x)-2f(x))\le 0$ en $(0,1)$ , $g(x)\le 0$ en $[0,1]$ . La conclusión es la siguiente.

Answer 2

Es cierto incluso si se ignora el supuesto de ser constante (que seguramente debe ser una errata.)

Tenga en cuenta que como $f'(x) \geq 0$ , $f$ es no decreciente. Por lo tanto, $f(x) \geq 0$ para $x \in [a,b]$ . Además, como $f$ es diferenciable, es continua.

Dejemos que $0 \leq a < b \leq 1$ entonces $f(b)-f(a) \leq \sup_{\xi \in (a,b)} f'(\xi) (b-a) \leq 2 f(b)(b-a)$ . Supongamos ahora que $f(a) = 0$ y $b-a < \frac{1}{2}$ . Entonces la desigualdad da $f(b) \leq 2 f(b) (b-a)$ o $0 \leq f(b)(2(b-a)-1)$ . Por lo tanto, $f(b) = 0$ .

Toma $a=0,b<\frac{1}{2}$ . Entonces lo anterior demuestra que $f(b) = 0$ para $b \in (0,\frac{1}{2})$ y la continuidad muestra $f(\frac{1}{2}) = 0$ . Ahora aplique el mismo argumento con $a=\frac{1}{2}, b<1$ , para conseguir $f(1) = 0$ de la que se desprende la conclusión deseada.