Forma analítica cerrada de $\int x^x\,\mathrm{d}x$

Question

He estado luchando por encontrar una forma analítica cerrada para la integral indefinida: $$ \int x^x\,\mathrm{d}x $$ Después de varios intentos fallidos estoy pensando que sólo existe una solución numérica dados los límites acotados de integración.

El principal intento es la integración por partes, pero esto produce más y más integrales de la forma $\int x^{x+i}\,\mathrm{d}x$ (junto con otros términos complicados que implican $\ln{x} $ ) para valores de $i=1,2,3\ldots$ .

Usando Mathematica y probando varios dominios de $x$ Veo que para $x < 0$ Las integrales definidas son valores complejos. Para $x\geq0$ , la integral definida está acotada sólo por el límite superior de integración.

Pregunta: ¿existe una forma analítica para esta integral? Si no es así, ¿hay una buena manera de demostrar que no existe tal forma analítica?

Answer 1

Dadas las referencias en los comentarios sobre la función del Sueño de Sophomore, estoy asumiendo que la respuesta a mi pregunta es que "No, no hay ninguna función analítica de forma cerrada cuya derivada sea $x^x$ .

Nunca había oído hablar de esta función del "Sueño de los Sophomore". Me encontré con este problema en particular habiendo ya resuelto la derivada de $x^x$ por dos métodos diferentes. Uno por medio de un truco y el otro tratando el $x^x$ función como $f(x,y)=y^x$ y luego tomar la derivada $df$ evaluado en el punto $(x,x)$ . Este segundo método ni siquiera estoy seguro de que sea un método general válido, aunque llegué a la misma respuesta.

Habiendo hecho la derivada, naturalmente intenté la integral de $x^x$ y fallando en mi intento.