superficies mínimas

Question

Tengo algunas preguntas muy básicas sobre las superficies mínimas. ¿Una inyección lisa o troceada $S^1$ en $\mathbb R^3$ siempre dan una superficie mínima única o hay casos con soluciones discretas distintas? ¿No puede darse el caso de que exista una familia de superficies mínimas de 1 parámetro para un "marco" dado? ¿Preservan los mapas lineales las superficies mínimas? Supongo que no, pero no tengo un buen ejemplo en mente.

Además, si tengo una descomposición simplificada de $S^1$ y mapearlo en $\mathbb R^3$ con un mapa simplicial, ¿se sabe que existe una única superficie mínima que abarca este marco lineal a trozos? ¿Está dada la fórmula fácilmente?

Estas preguntas surgieron definiendo una superficie $f(s,t)=(1-s)(1-t)v_0+(1-s)tv_1+s(1-t)v_3+stv_4$ para interpolar el mapa simplicial definido por $f(0,0)=v_0, f(0,1)=v_1, f(1,1)=v_2, f(1,0)=v_3$ que mapea $\partial I^2$ en $\mathbb R^3$ . Creo que esta superficie es mínima, y me pregunto cómo funciona para polígonos con más vértices que el cuadrado.

Gracias

Answer 1

En $\mathbb{R}^3$ siempre hay alguna superficie mínima que abarca una curva simple conectada dada (suponiendo que la curva no es demasiado horrible, digamos Lipschitz). En este caso, la superficie debe entenderse en sentido amplio como posiblemente inmersa y de topología arbitraria. Esto puede verse utilizando la maquinaria de la teoría de la medida geométrica y el método directo del cálculo de variaciones (es decir, minimizando el área). Alternativamente, dado que en este contexto existe una estrecha relación con los mapas armónicos, siempre se puede encontrar una superficie mínima que abarque la curva y que sea topológicamente un disco (a veces se denomina solución de Douglas-Rado). Ésta también se construye por métodos directos, pero aquí se minimiza la energía de Dirichlet del mapa.

Si se sabe más sobre la curva delimitadora se puede obtener más información sobre las posibles superficies mínimas que abarcan la curva. Por ejemplo, si la curva se encuentra en el límite de un conjunto convexo, entonces abarca al menos una superficie mínima incrustada.

En general no hay unicidad (de hecho hay un ejemplo debido a F. Morgan donde una curva dada limita un continuo de superficies mínimas). Aunque si se sabe que la curva delimitadora es analítica y de curvatura geodésica total menor que $4\pi$ entonces Nitsche demuestra que la curva limita un único disco mínimo (no recuerdo si también puede limitar superficies de otros tipos topológicos).

En general, dudo que se pueda obtener una parametrización explícita para la superficie aunque la curva sea simplificada. Aunque podrías obtener algo si miras la representación de Enneper-Weierstrass.

Answer 2

Hay una respuesta sencilla a su primera pregunta. Imagina dos círculos del mismo radio situados en planos paralelos de forma que el segmento que une sus centros es perpendicular a los planos. Hay dos superficies mínimas que limitan esta configuración. Una consiste en dos discos, uno en cada plano, y la otra es una sección de un catenoide. Jugando con los radios y la distancia se pueden tener incluso dos superficies de área mínima con el mismo límite.

Es evidente que no hay una única superficie mínima que abarque la misma curva lineal a trozos. Se podría construir una curva que limitara tanto un disco mínimo como una banda de Moebius mínima con poca dificultad. Leí esto en un artículo en alemán que se escribió en los años 50. No puedo recordar el autor. Creo que puedes encontrar el ejemplo en el libro de Blaine Lawson sobre superficies mínimas.

Además, Peter Hall dio algunos ejemplos de no singularidad a finales de los años 80.

Hay una memoria de la AMS escrita por Dave Hoffman que construye muchas familias de superficies mínimas, utilizando la representación de Weierstrass, y los recuentos de las dimensiones de las secciones holomorfas de los haces de líneas para construir muchas familias.