Encuentra las sumas de las series $ S_1=\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^2 kx}{k^2}$ y $S_2=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin^2 kx}{k^2} $

Question

Encuentra las sumas $S_1$ y $S_2$ $$ S_1=\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^2 kx}{k^2}\\ S_2=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin^2 kx}{k^2} $$ utilizando la siguiente expansión: $$ I_{[a,b]}(x)=\begin{cases} 1,\ a\leqslant x\leqslant b\\ 0\ \text{otherwise} \end{cases};\ \ \ \ [a,b]\subset[-\pi,\pi]\\ I_{[a,b]}(x)=\frac{b-a}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{n}\sin\frac{n(b-a)}{2}\cos\frac{n(b+a-2x)}{2}\right) $$

He encontrado otra solución a este problema (sin utilizar las series de Fourier de la función indicadora), y aquí está mi respuesta: $$ \begin{aligned} &S_1=\frac{\pi^2}{6}+\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x}{2}\\ &S_2=-\frac{x^2}{2}+\frac{\pi x}{2} \end{aligned} $$ Lo hice encontrando la suma de $\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos 2kx}{k^2}$ como subtarea. Pero ahora tengo que aplicar de alguna manera esa función de indicador. Me han dicho que la solución debería ser sencilla. Sin embargo, hasta ahora no he conseguido encontrarla.

Answer 1

Ver mi respuesta en Calcular $\sum \limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos 2n}{n^2}$ . Puedes considerar tus series como sumas de los cuadrados de los coeficientes de las series de Fourier. En su expansión, elija $b+a=0$ para que el coseno se convierta en $\cos nx$ y utilizar Teorema de Parseval para sustituir la suma de los cuadrados de los coeficientes por el cuadrado de la integral de la función indicadora (al cuadrado). De este modo se obtiene $S_2$ y luego $S_1=\frac{\pi^2}6-S_2$ desde $\cos^2+\sin^2=1$ . (Aquí $\frac{b-a}2$ y $n$ en la expansión desempeñan el papel de $x$ y $k$ respectivamente, en la serie).