La primera respuesta: las funciones nunca son indefinidos. Es una especie de carga de la palabra: no hables de algo indefinido, porque, entonces ¿de qué estamos hablando? ¿Qué es undefined es una expresión en $x$'s y $y$'s que decirle a usted acerca de una función; una expresión que no sé cómo definir una función en todas partes.
Así que tenemos que hablar acerca de cómo pasar de una expresión como $\frac{xy^2}{3xy}$ a una función.
Y la real, la respuesta honesta es que hay un par de maneras de hacer eso. Los educadores de matemáticas recogido una, y esa es la que tienes que aprender, pero felicito a usted mismo: usted se confundió exactamente donde estaban cepillado algo debajo de la alfombra. Que en realidad los hace bastante agudo, es como saber lo que no sabe mejor que nadie.
Para ser riguroso, ya que los matemáticos como hacer todo lo riguroso:
- el recuerdo de un aparentemente irrelevantes capítulo en su libro de texto de álgebra que una relación es un conjunto de puntos de $(x,y)$ donde $x$ $y$ son números reales (que puede ser cualquier cosa, y $x$ $y$ incluso no tiene que ser el mismo tipo de cosa, pero en la escuela secundaria álgebra o cálculo probablemente la media de los números reales). Podemos decir $\mathbb{R}^2$ a la media de los pares ordenados de números reales. Por ejemplo, el conjunto que contiene a $(1,2)$ es una relación, y el conjunto de todos los puntos de $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y = 2x\}$ es una relación (La de colon se puede leer "donde", "como", "tener", "con", etc. $\in$ significa "en").
- Una función es una relación en la que si $(x, y_0)$ $(x, y_1)$ son dos puntos en la relación (con el mismo $x$!), a continuación,$y_0 = y_1$. Esta es la línea vertical de la prueba. Así que si usted dibuja una gráfica, es una relación, ya que especifica un conjunto de puntos. Es una función, si se satisface la prueba de la línea vertical.
- Así que ahora si tenemos una relación que pasa a ser una función, que relación tendrá un dominio de $D$ se define como el conjunto $\{t: \exists(x,y) \in R$ donde $x=t\}$. Si dibuja un segmento de línea de izquierda a derecha en la gráfica, el dominio serán todos los valores de la izquierda del punto a la derecha del punto.
- Dada una relación $R$ que es una función, y un punto de $x$ en su dominio, podemos escribir $R(x)$ a significar "la única $y$ valor en la relación con ese $x$ valor".
Así que esto es todo lo que un montón de matemática tergiversar, pero es realmente relevante para este. Así que mi pregunta es: ¿Qué hace una función como $f(x) = 2x$ tienen que ver con la explicación anterior?
Cuando usted escribe $$f(x) = 2x$$
Usted está diciendo:
- hay una relación donde cada uno de los $y$ valor $x$. O $\{(x,y): y = 2x\}$. El dominio es entonces todos los de $\mathbb{R}$, ya que para cada $x \in \mathbb{R}$, $y$ que pone a $(x,y)$ justo en esa relación.
- También estás diciendo que esa relación es una función. Pero creo que si $a = b$$2a = 2b$, por lo que es bastante obvio que es.
Sí, eso es un montón de mumbo jumbo por un corto ecuación, pero en matemáticas a veces, si usted se confunde usted tiene que pensar acerca de lo que es en sentido figurado pasando aquí.
Si usted escribe
$$f(x) = \pm \sqrt{x}$$
Entonces usted acaba de definir una relación que es $not$ una función. $f(4) = \pm 2$, que se lee como "o". Desde $f(4)$ le puede dar una cosa o la otra cosa, estamos hablando de una relación que no pasa la prueba de la línea vertical, no una función.
Ahora por tu ejemplo: ¿qué pasa con algo como $$f(x) = 1/x$$ This would mean $\{(x,y): y = 1/x\}$. If you have a $s$ where $y = 1/x$, in particular you may multiply each side by $x$ to determine that $xy = 1$. So $x$ is definitely $$ zero, because $1 \neq 0$. That means the domain of this function does $no$ son de 0.
Siguiente: $f(x) = x/x$. Este es un poco más complicada, porque en realidad hay dos perfectamente válido cosas que usted podría hacer aquí, y la de matemáticas donde se acaba de cancelar la primera es la matemática de la $\mathbb{R}[x]$, lo que muchos matemáticos encontrar muy interesante.
En su clase hacemos algo al revés:
- Ver una expresión como $f(x)/g(x)$.
- Admitir que es realmente grosero para escribir algo como $x/y$ sobre el papel, sin siquiera hablar, cuando planeamos hacer esa división, ya que $y$ podría ser cero.
- Intente echarán para atrás fuera de nuestras ofensas, y dicen que solo significaba que cuando las $g(x) \neq 0$.
- De acuerdo en que es la función que estamos hablando.
Así que cuando usted intente cancelar en una función como $x/x$, averiguar la función que significaba en primer lugar, porque esa es la regla. Yo especie de odio esto porque creo que es confuso hablar de "definir" algo que, a continuación, averiguar donde está "definido". Por eso estoy animando a pensar de partir de la expresión (Para ser rigurosos? Un polinomio racional, $\in \mathbb{R}(x)$) y averiguar lo que la función que tenemos, por convención, se decidió que la expresión se refiere.
No puedo pensar en al menos otras cuatro opciones.
- Cancelar todo por primera vez, luego de averiguar el dominio. Esto es lo que ustedes están proponiendo. Es mucho más similar a lo que un algebraicas aparejador iba a hacer. Es perfectamente válido matemáticamente. Es sólo una convención diferente del que se usa. Te diré, sin embargo: la razón por la que esto funciona es muy profundo y se basa en el hecho de que puedes factor de polinomios única forma similar a como factor de números como $70=2*5*7$ únicamente.
- El cálculo de la perspectiva: hacer el largo camino de arriba, a continuación, reemplace cualquier reemplazable discontinuidades. Por razones profundas de este es el mismo (1).
- La geometría proyectiva perspectiva: justo admitir que la división por cero es totalmente razonable, y se le da $\infty$. ($\pm \infty$ son las mismas cosas, por supuesto, porque el mundo vive en una esfera, a un proyectiva aparejador.)
- Todos estos métodos el rendimiento de una función. ¿Por qué no acaba de definir la mayoría de equivalente de relación $\{(x,y) : x*g(x) = f(x)\}$? En particular, $f(x) = x/x$ volvería a $\{(x,y): xy=x\}$, donde si $x = 0$, $y$ lanza una de las partes. (Ejercicio: gráfica de esta relación. Ver que falla la prueba de la línea vertical).
Después de estudiar álgebra en la universidad, en realidad creo que preocuparse por el primer dominio es estúpido. Para mí, el numerador y el denominador son ambos polinomios y se pueden multiplicar y dividir tan libremente como los números pueden. Yo prefiero cancelar, a continuación, ver donde tiene sentido hablar de una función. En otras palabras, me gustaría hacerlo a tu manera. Pero es erróneo argumentar acerca de su maestro, que la forma de hacerlo, y el derecho a aprender de ambas maneras y se adhieren a la forma en que nos enseñan, mientras que en el salón de clases o tomar un examen de AP. Cuando llegas a un graduado del curso de algebra, estar preparado para cambiar de marcha.
