Función de densidad de probabilidad marginal para una variable conjunta con dos límites superiores

Question

Mi función variable conjunta es $f(x,y) = \frac{2x+y}{36}$ , $ 0 \leq y \leq x$ , $x + 2y \leq 6$ y cero en caso contrario.

Mi pregunta es que al intentar encontrar la f.d.p. marginal de X, cómo puedo hacerlo cuando y tiene dos límites superiores. ¿Tengo que encontrar el límite superior más alto o el límite inferior?

En caso contrario, la respuesta puede escribirse como

$$f_X(x) = \int_{0}^{6-2y} f(x,y) \quad \textrm{ or } \quad f_X(x) = \int_{0}^{y} f(x,y)?$$

Answer 1

La primera ecuación implica $y \le x$ el segundo implica $y \le 3-x/2$ . Dibuja la región sobre la que se aplican estos límites, y entonces tu integral se separará en 2, una con una restricción y otra con la otra...

Answer 2

Desea integrar con respecto a $y$ por lo que los límites deben ser funciones en $x$ , que es el parámetro de la pdf marginal.

Ahora, $x+2y\leqslant 6$ equivale a $y\leqslant 3-x/2$ por lo que el apoyo a esta distribución es así: $$\{\langle x,y\rangle: 0\leqslant x\leqslant 6\land 0\leqslant y\leqslant\min(x,3-x/2)\}$$ que es el triángulo $\triangle(0,0)(2,2)(6,0)$ , también conocido como: $$\{\langle x,y\rangle: (0\leqslant x\lt 2~\land~ 0\leqslant y\leqslant x)\lor(2\leqslant x\leqslant 6~\land~ 0\leqslant y\leqslant 3-\tfrac x2\} $$

Así que $$f_X(x)=\mathbf 1_{x\in[0..2)}\int_0^x f(x,y)\mathsf d y+\mathbf 1_{x\in[2..6]}\int_0^{3-x/2} f(x,y)\mathrm d y$$