Estoy haciendo un ejercicio y he llegado a esta pregunta: SOLVE: $ y''''+y'''=1-x^2e^{-x}$ , la solución de la ecuación homegénea asociada es sencilla de calcular es decir, $y_h=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{-x}$ Sin embargo, cuando se trata de la solución particular, es realmente trivial y difícil. ¿alguien puede enseñarme cómo resolver el problema de la manera más fácil?
Respuesta
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Mike
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No estoy seguro de cómo solucionarlo de la forma más rápida. Para dar una idea de la solución particular, sin embargo, empezar por multiplicar ambos lados por $e^x$ .
$$e^xy''''+e^xy'''=(e^xy''')'=e^x-x^2$$ $$e^xy'''=e^x-\frac{x^3}3+k$$ $$y'''=1-\frac{x^3}3e^{-x}+ke^{-x}$$
Integrar ambas partes $3$ veces se obtendrá una solución completa. El primer término se integrará fácilmente en $\frac{x^3}6$ . El siguiente término es el complicado, pero debe ser de la forma $ax^3e^{-x}+bx^2e^{-x}+cxe^{-x}$ . Un $e^{-x}$ no se incluye porque es parte de la solución homogénea.
