La función descrita en la imagen siguiente está pensada con \max(0, \sin(t)) Supongo que hay que hacer una especie de expansión en serie o alguna aritmética inteligente con la identidad de Euler. Pero soy incapaz de conseguir algo concreto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ors
Puntos
11
Queremos la integral \begin{align} I = \int_0^\infty e^{-tx} \max\{\sin(x),0\} dx, \end{align} nota que \begin{align} \max\{\sin(x),0\} &= \begin{cases} \sin(x), & 2n\pi\leq x\leq (2n+1)\pi\\0, &(2n+1)\pi \leq x \leq (2n+2)\end{cases} , \fin para cada natural $n$ . Podemos (ignorando los problemas de convergencia) dividir la integral en un montón de intervalos \begin{align} I = \sum_{n=0}^\infty \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} e^{-tx} \sin(x) dx, \end{align} ya que los bits entre (2n+1)\pi y (2n+2)\pi son cero. La integral en cada intervalo es fácil si se expresa \sin como una suma de exponenciales y la suma infinita es sólo una serie geométrica una vez que has hecho la integral en cada pequeño intervalo.
Stratiev
Puntos
116
Aquí hay un intento utilizando su observación de que max(0, \sin(t))=0 para [(2k+1) \pi, (2k+2) \pi] , donde k=0,1,2,... .
Esto significa que podemos dividir la transformada de Laplace en una suma discreta de integrales \begin{equation} \mathcal{I} \equiv \mathcal{L}[max(0,\sin(t))] = \int_0^{\infty}max(0,\sin(t)) e^{-st} dt = \sum_{k=0}^{\infty} \mathcal{I}_k, \end{equation}
donde \begin{equation} \mathcal{I}_k = \int_{2k\pi}^{(2k+1) \pi } \sin(t) e^{-st} dt. \end{equation}
Entonces tenemos (deberías comprobarlo dos veces)
\begin{equation} \mathcal{I}_k = \frac{1}{2} \left( e^{-\pi s} -1 \right) e^{-2k\pi s}. \end{equation}
Finalmente utilizando la fórmula de la progresión geométrica tenemos que \begin{equation} \mathcal{I}(s) = \frac{1}{2} \left(e^{-\pi s} -1 \right) \frac{1}{1 - e^{-2\pi s}}. \end{equation}
Espero no haber cometido ningún error al escribir esto.
Aunque los métodos de las otras respuestas también son correctos, esta me parece la más fácil de entender.
Puedes representar la función en la pregunta como lo siguiente: \begin{equation} max(0,\sin{t}) = \frac{1}{2}\sin{t}+\frac{1}{2}|\sin{t}| \end{equation} |\sin{t}| puede transformarse en \frac{e^{\pi s} + 1}{e^{\pi s} - 1} \cdot \frac{1}{s^2 + 1} utilizando la "Regla de la Periodicidad". (Consulte las referencias más abajo si no sabe lo que es).
Como \sin{t} es a sabiendas \frac{1}{s^2+1} por lo que toda la función se transforma en
\begin{equation} \frac{e^{\pi s}}{e^{\pi s} - 1}\cdot \frac{1}{s^2+1} \end{equation}
REF1: https://www.intmath.com/laplace-transformation/5-transform-periodic-function.php
0 votos
@EDX: La fórmula correcta es \dfrac{a+b+|b-a|}2 .
0 votos
@EDX No veo cómo eso podría ayudar
0 votos
Porque sabes que la transformada de Fourier de \sin(x) y |\sin(x) |