A - B semidefinido positivo y valores propios de A y B

Question

Estoy viendo la prueba en esta pregunta y no puedo convencerme de que esto sea correcto (suponiendo que $A$ y $B$ son simétricos y definidos positivos): $$\forall x\; x^T Ax \ge x^T Bx \iff \lambda_{min}(A) \ge \lambda_{max}(B).$$

Intuitivamente, es Algo así como tiene sentido porque cada $x$ puede expresarse como una combinación lineal de los vectores propios de $A$ o $B$ . Sin embargo, aunque puedo convencerme de que la RHS implica la LHS, no puedo convencerme de la otra dirección. Parece posible que el RHS sea suficiente pero no necesario para el LHS.

Entonces, ¿se cumple la afirmación?

Answer 1

RHS $\implies$ LHS pero no al revés. Un contraejemplo sencillo es el siguiente $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad B = \begin{pmatrix} 3/4 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}. $$

La diferencia $A-B$ es positiva definida pero $\lambda_{\min}(A) = 1/2 \not\geq 3/4 = \lambda_{\max}(B)$ .