Calcular la serie de Fourier de $f(x)=x^2$ , $x \in \ [-\pi,\pi]$

Question

Calcular la serie de Fourier de $f(x)=x^2$ , $x \in \ [-\pi,\pi]$ y determinar el módulo y el espectro de fase

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \ \cos(nx) \ + \ b_n \ \sin(nx)$$

$$a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \ dx=\frac{2}{3} \pi^2$$

$$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \ \cos(nx) \ dx=\frac{1}{\pi} \ \frac{2(\pi^2 n^2-2) \sin(n \pi)+4 \pi n \cos(n \pi)}{n^3}=\frac{4 (-1)^n}{n^2}$$

$$b_n=0 \qquad \forall n\ge 1$$

porque $f$ es incluso

$$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4 \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \ \cos(nx)$$

¿Cómo puedo determinar el módulo y el espectro de fase?

¿Debo calcular los coeficientes de la serie de Fourier en diferentes valores de n, y luego calcular el módulo y la fase del resultado?

Gracias.

Answer 1

HINT

El espectro de amplitud es $$\{|a_{|i|}|\},\quad i=-\infty\dots\infty.$$ El espectro de fase es $$\{(-1)^i\pi\},\quad i=-\infty\dots\infty.$$ Ambos espectros son discretos. Si la secuencia de tiempo se mide en segundos, el paso de los espectros es de 1 Hz.