Surrealista números sin el axioma de infinitud

Question

Deje $ZF^\times$ denota el conjunto de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos sin el axioma de infinitud. El conjunto $V_\omega$ de todos los hereditariamente finitos conjuntos es un modelo de $ZF^\times$, e $Ord^{V_\omega}=\omega$.

El surrealista números, en $ZFC$ formar una clase adecuada que es una ordenó campo que contiene todos los números ordinales y el orden es Dedekind-completa (en el sentido de que cada corte es realizado).

¿Tiene esto algún sentido para definir el surrealista números en $ZF^\times$, y si es así - es el resultado sólo de los números racionales (que da cuenta de un corte definido por un determinado tipo, y contiene "todos los ordinales" de $V_\omega$)?

Para agregar en el comentario de Zhen Lin a continuación, supongamos que trabajamos en $NBG$ teoría de conjuntos, de nuevo sin axiomas de infinitud, sin embargo, ahora podemos exigir que clase de cortes será una realidad. Si en el $ZF^\times$ no podemos conseguir el conjunto de los números racionales, es posible que en este caso?

Answer 1

En primer lugar, para el caso base de la $ZF^{-\infty}$: como se mencionó anteriormente, el conjunto de números que se pueden producir aquí es el mismo que el conjunto de todos los números 'nació' en finitos días en Conway habituales de la construcción. Comencé a cavar a través de mis referencias y resulta que ninguno de los Números Y los Juegos, la senda de la victoria o Surrealista Números de dar realmente una prueba plena de que los únicos números que nació en el día $n$ son diádica racionales. He aquí un esbozo del proceso (la omisión de la muy básica de las pruebas de las propiedades habituales para la suma, la desigualdad, etc. y la evidente restricción a los números positivos, ya que los negativos seguir fácilmente), que entraría en una prueba:

1. Demostrar la Simplicidad Teorema: si $X_L$ $X_R$ es no-vacío, el valor de $x = \{X_L|X_R\}$ es el más simple (primer-creado) valor estrictamente entre ellos. Otra versión de esto es que si $x=\{X_L|X_R\}$$Y_L\lt x, Y_R \gt x$$x=\{X_L,Y_L|X_R,Y_R\}$. Esto implica que si el número de nacidos por día$n$$0, x_1, \ldots, x_m$, a continuación, los números nacido en el día $n+1$ sólo $\{0|x_1\}, \{x_1|x_2\}, \ldots, \{x_{m-1}|x_m\}, \{x_m|\}$ - que rellenar los huecos.
2. Utilice esto para demostrar la forma más simple de la traducción teorema: si $x$ es positivo,$1+x = \{1+X_L|1+X_R\}$. Esto implica entonces que los números mayor que $1$ nacidos en el día $n+1$ $1$ más que los números nacido en el día $n$ y nos permite restringir la atención a los números entre el$0$$1$.
3. Por inducción, suponga que los números entre el $0$ $1$ nacidos por día $n$ son los diádica racionales $t/2^{n-1}, 0\lt t\lt 2^{n-1}$. Considerar la brecha $(a,a+2^{-(n-1)})$ día $n$ y el número de $x_{new} = \{a|a+2^{-(n-1)}\}$ nacidos en el día $n+1$; sabemos que $x_{new} > a$$x_{new} < a+2^{-(n-1)}$. A continuación,$x_{new}+x_{new} = \{a+x_{new}|a+2^{-(n-1)}+x_{new}\}$; la izquierda es, por tanto, mayor que $a+a$ y menos de $a+a+2^{-(n-1)}$; del mismo modo, el lado derecho es mayor que $a+a+2^{(n-1)}$ y menos de $a+a+2^{-(n-2)}$. El más simple número en este lapso es $a+a+2^{-(n-1)}$, y así, por la sencillez teorema $x_{new}+x_{new} = a+a+2^{-(n-1)}$ e lo $x_{new} = a+2^{-n}$.

Para el $NBG^{-\infty}$ de los casos, las cosas son un poco más sutiles. Parece claro que usted no puede obtener los números nacido en cualquier día de la $\gt\omega$, debido a que las cifras se incluyen "los miembros de la clase" - los números nacido en al menos el día de $\omega$, con una clase adecuada en su lado izquierdo o derecho, y la correcta clases no están disponibles como miembros. Al principio pensé que usted podría conseguir todos los números nacido en el día $\omega$, pero el problema es que la clase de comprensión que no le da arbitraria contables conjuntos hereditariamente-finito (surrealista) números (es decir, dyadics), pero sólo definible conjuntos, y lo que es definible depende de lo que tu lenguaje. Si se restringen a $\{\leq, +\}$ (tradicional) de los números que se pueden obtener son todos los racionales; si su idioma es$\{\leq, +, \times\}$, entonces usted debe conseguir todos los números algebraicos. Más de un idioma o el otro, también te $\omega, -\omega$, y todos los números de la forma $d\pm 1/\omega$ para diádica $d$, ya que estos son definidos por los recortes de la forma $\{d|d+{1\over2}, d+{1\over4}, \ldots\}$ y similares. Demostrando que estos son todos los números definidos parece relativamente sencillo: si $X_L$ tiene un miembro más grande $x_L$, entonces debemos tener $\inf(X_R) = x_L$ (de lo contrario no serán algunas de las diádica racional en el rango de $(x_L, \inf(X_R)$) y por lo que el valor es $x_L+{1\over\omega}$ (este es el más simple número mayor que $x_L$ y menor que todos los $X_R$); la doble declaración, obviamente, vale si $X_R$ tiene un miembro más pequeño $x_R$. Si no $X_L$ ni $X_R$ tiene un extremal miembro en la dirección adecuada, entonces ellos deben tener un compartida infimum/supremum; en este punto se trata de mostrar que el supremum de todos los valores de satisfacer algún sistema lineal (respectivamente polinomio) entero de las desigualdades es un racional, respectivamente algebraicas, número.