¿Los vectores n + 1, suponiendo que no sean colineales, siempre abarcan n?

Question

Estoy tratando de entender la independencia/dependencia lineal y espero estar entendiendo esto correctamente, pero no estoy seguro.

Así que a mi entender, por lo que mi profesor de álgebra lineal llama el teorema de "demasiados vectores", $n + 1$ vectores en $R_n$ suponiendo que no sean colineales, siempre serán linealmente dependientes ya que un vector será una combinación lineal de los otros.

Entonces, ¿significa esto que mientras se cumpla esta condición, los vectores siempre span $R_n$ ?

Answer 1

Este es un ejemplo en $\mathbb{R}^3$ : $$\{(1,1,0),(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0)\}$$ Estos claramente no abarcan $\mathbb{R}^3$ ya que todas tienen un cero en la tercera coordenada. Tampoco son dos colineales, ya que todas tienen un uno en la primera coordenada.

Como se señala en los comentarios, "no colineal" sólo garantiza que la dimensión de lo que abarcan es al menos 2, no necesariamente la dimensión de todo el espacio.

Answer 2

En general, para un conjunto son equivalentes $S$ de vectores en un espacio vectorial:

• $S$ es linealmente independiente. (Es decir, cada combinación lineal no trivial de $S$ es distinto de cero. Por el contrario, si el vector cero se expresa como una combinación lineal $\mathbf{0} = \sum_{k} x_{k} \mathbf{v}_{k}$ de $S$ entonces $x_{k} = 0$ para todos $k$ .)

• Cada vector en el tramo de $S$ se puede expresar únicamente como una combinación lineal de $S$ .

• Cada subconjunto de $S$ es linealmente independiente. (En consecuencia, si $S$ es linealmente independiente entonces el vector cero no está en $S$ ; no hay dos vectores en $S$ son colineales; no hay tres vectores coplanares; etc.)

• Ningún subconjunto adecuado de $S$ abarca el mismo subespacio que $S$ .

Answer 3

No. Abarcan al menos un subespacio bidimensional de $\mathbb{R}_n$ . Considere $(1,0,0)$ , $(2,0,0)$ , $(3,0,1)$ y $(4,0,0)$ . Se trata de 4 vectores en $\mathbb{R}_3$ por lo que al menos una de ellas es una combinación lineal de las otras, pero no abarcan $\mathbb{R}_3$ . En cambio, abarcan un plano 2D.