Dada una categoría puntiaguda $X$ es $|N(X)|$ contraíble ( $N(X)$ es el nervio de $X$ )? ¿O hay contraejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cualquier categoría que tenga un objeto terminal o un objeto inicial tiene nervio contráctil. Esto se desprende del hecho de que el funtor nervio convierte las transformaciones naturales en homotopías, y por tanto convierte los funtores adjuntos en equivalencias homotópicas inversas (ya que la unidad y el conejo de la adjunción se convierten en homotopías de la identidad). Un objeto terminal es exactamente un adjunto derecho al funtor único $X\to 1$ y así se obtiene una equivalencia de homotopía $|N(X)|\simeq |N(1)|$ y por lo tanto muestra $|N(X)|$ es contraíble ya que $|N(1)|$ es un espacio de un punto. Del mismo modo, un objeto inicial es un adjunto izquierdo de $X\to 1$ .
