Ecuación diferencial de la forma $x^2y'' + (1-2p)xy' + (p^2-q^2)y = x^n$

Question

$$x^2y''+(1-2p)xy'+(p^2-q^2)y=x^n $$ se puede escribir en la forma $$ x^a(x^b(x^cy)')'=x^n, $$ donde $$ a=1+2p\pm q, b=1\mp2q, c=-p\pm q. $$ Como puedes ver, hay dos posibles conjuntos de valores de $a,b,c$. Ambos conjuntos de valores dan ecuaciones diferenciales equivalentes, por lo que deberían llevar a la misma solución general.

Sin embargo, si intentas resolverlo, empezarás integrando ambos lados de $$ (x^b(x^cy)')'=x^{n-a}, $$ y la antiderivada de la parte derecha claramente depende del valor de $n-a$: cuando $n-a=-1$, la parte derecha se integra para dar $\ln x$; de lo contrario, será $\frac{x^{n-a+1}}{n-a+1}$. Esos dos casos claramente NO conducen a la misma solución general. Ahora, puedo elegir los valores de $p,q$ de manera que $1+2p-q=n+1$ pero $1+2p-q\neq n+1$, es decir, un posible valor de $a$ da $\ln(x)$ mientras que el otro no. Por lo tanto, los dos valores de $a$ llevan a soluciones generales diferentes. Sin embargo, cambiar el signo de $q$ NO cambia la ecuación diferencial, ¿entonces cómo puede llevar a un cambio en la solución general? ¿Qué está mal?

EDIT: Me centro en el valor de $p,q$ que da $\ln x$ solamente.

Answer 1

Corrija el exponente $a=1+p\pm q$.

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Por lo tanto, continúe realizando la integración para el caso general $(n-p)^2\ne q^2$. $$ x^b(x^cy)'=\frac{x^{n-a+1}}{n-a+1}+C \\ (x^cy)'=\frac{x^{n-a+1-b}}{n-a+1}+Cx^{-b} \\ x^cy=\frac{x^{n-a-b+1}}{(n-a+1)(n-a-b+2)}+Cx^{-b+1}+D \\ y=\frac{x^{n-a-b-c+1}}{(n-a+1)(n-a-b+2)}+Cx^{-b-c+1}+Dx^{-c} $$ y como $a+b=2+p\mp q$ los factores en el denominador son $n-p\mp q$ y $n-p\pm q$, que es simétrico en el signo antes de $q$.

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Los casos excepcionales son aquellos donde $n+1-a=0\iff n=p\pm q$ o donde $n+1-a-b=0\iff n=p\mp q$.

El primer caso $n+1-a=0$ da en la primera integración $$ x^b(x^cy)'=\ln x+C. $$ La segunda integración procede mediante integración parcial a $$ x^cy=Cx^{1-b}+\int x^{-b}\ln x\,dx=Cx^{1-b}+\frac{x^{1-b}\ln x}{1-b}-\int \frac{x^{-b}}{1-b}dx $$ donde la última integral se puede combinar con el primer término. $$ y=Cx^{p\pm q}+Dx^{p\mp q}\pm\frac{x^{p\pm q}\ln x}{2q}=Cx^{p+q}+Dx^{p-q}+\frac{x^n\ln x}{2(n-p)}. $$ Las constantes $C,D$ se reasignaron y etiquetaron deliberadamente de un paso a otro.

En el segundo caso $n+2-a-b=0$ el cálculo se desvía de la solución regular en la segunda integración dando $$ x^cy=\frac{\ln x}{(n-a+1)}+Cx^{-b+1}+D \\ y=\frac{x^{p\mp q}\ln x}{n-p\mp q}+Cx^{p\pm q}+Dx^{p\mp q} =\frac{x^n\ln x}{2(n-p)}+Cx^{p+ q}+Dx^{p- q} $$ Las constantes $C,D$ se reasignaron y etiquetaron deliberadamente de un paso a otro.

De hecho, ambas variantes de solución conducen a la misma fórmula de solución general.