$\phi:\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ forma alternada de deg $2$ . Si $m$ es impar, $\exists v\neq 0$ , $\phi(v,w) = 0$

Question

Dejemos que $\phi:\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ sea una forma alterna de grado $2$ . Si $m$ es impar, existe un vector no nulo vector $v\in \mathbb{R}^m$ tal que $\phi(v,w) = 0$ para todos $w\in \mathbb{R}^m$

Hay pocos teoremas que conozco que ayuden a responder a esto. $v$ y $w$ son linealmente dependientes, entonces $\phi(v,w)=0$ . ¿La respuesta se basa en la dependencia lineal? Trabajando con la definición de forma alternante, intenté hacer $\phi(v,w) = -\phi(w,v)$ pero no conseguí nada. De alguna manera necesito relacionar la dimensión del espacio con la existencia de dichos vectores. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia: Considere la matriz $A_{ij}=\phi(\vec{e}_i,\vec{e}_j)$ . Esta matriz es simétrica y tiene un número impar de filas/columnas. Por lo tanto, su determinante es $0$ (la prueba de esto se puede encontrar wikipedia ). ¿Puedes usar esto para demostrar que hay un vector $\vec{v}$ para que $\phi(\vec{v},\vec{e}_i)=0$ para todos $i$ ?

Sugerencia adicional $1$ :

Demostrar que $(A\vec{v})_i=\phi(\vec{e}_i,\vec{v})$ .

Sugerencia adicional $2$ :

Encontrar un vector $\vec{v}\not=\vec{0}$ para que $A\vec{v}=\vec{0}$ .

El $\vec{v}$ construido en las dos pistas adicionales es exactamente el $\vec{v}$ que necesita la pregunta.