¿Esta matriz es siempre ortogonal?

Question

Estaba leyendo sobre las matrices ortogonales y me di cuenta de que el $2 \times 2$ matriz $$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$ es ortogonal para cualquier valor de $\theta$ y que cada $2\times 2$ matriz ortogonal puede expresarse de esta forma. Entonces me pregunté si esto se puede generalizar a cualquier parametrización suave del círculo unitario. Más concretamente, dejemos que $x(t)$ y $y(t)$ sea una parametrización suave del círculo unitario para todo $t$ en algún intervalo $I \subseteq \Bbb R$ tal que $|\langle x(t),y(t) \rangle| = 1$ para todos $t \in I$ . ¿Es la matriz $$A= \begin{pmatrix}x(t)&y(t)\\x'(t) & y'(t) \end{pmatrix} $$ ¿es necesariamente ortogonal? Al principio pensé que sí, pero tengo problemas para demostrarlo. Dejando $v = \langle x(t), y(t) \rangle$ Basta con mostrar tres cosas: 1) $|v| = 1$ , 2) $v \cdot v' = 0$ y 3) $|v'| = 1$ . (1) se deduce directamente de cómo $x(t)$ y $y(t)$ fueron definidos. (2) se puede obtener diferenciando la ecuación $x(t)^2 + y(t)^2 = 1$ : \begin{align*} &\frac{d}{dt} \Big[ x(t)^2 + y(t)^2 \Big]= 0 \\ &\implies 2x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t)= 0 \\ &\implies v \cdot v' = 0. \end{align*} Pero no pude encontrar la manera de probar (3). Ahora no estoy seguro de que (3) sea cierto en absoluto. ¿Es $A$ incluso ortogonal en primer lugar? Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

En primer lugar, no todas las matrices ortogonales tienen la forma indicada, sólo rotación matrices. Hay matrices ortogonales reflexión matrices, con determinante $-1$ : $$ \left[ \begin{array}{@{}rr@{}} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{array}\right]. $$

En segundo lugar, su conjetura no es cierta: Sólo velocidad de la unidad Las parametrizaciones tienen la propiedad indicada, porque las filas de una matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal (en el sentido obvio), y particularmente deben ser vectores unitarios.

Answer 2

El tercer punto implica que la parametrización va sobre el círculo a una velocidad constante $1$ lo cual es, por supuesto, falso en general.

Por ejemplo $v(t)=\langle \sin t^2,\cos t^2\rangle $ para $t\in[0,\sqrt{2\pi})$ .

Answer 3

En general, (3) no es cierto. Dado que $\left\vert v \right\vert^2 = x(t)^2 + y(t)^2 = 1$ podemos escribir $$x(t) = \cos \theta(t), \quad y(t) = \sin \theta(t)$$ para alguna función $\theta(t)$ . Pero la informática da $\left\vert\dot v\right\vert^2 = \dot\theta(t)^2$ , por lo que la condición $|\dot v|^2 = 1$ (que sólo dice que $v$ es un parametrización de la velocidad de la unidad ) fuerzas $\dot\theta(t) = \pm 1$ y esta condición sólo da lugar a las matrices de la forma dada (la rotaciones ). Obsérvese que la composición de cualquier rotación con una reflexión es otra reflexión y, por tanto, ortogonal, pero estas reflexiones no pueden tener la forma de la pregunta: Las reflexiones tienen determinante $-1$ pero las matrices de la forma dada tienen determinante $(\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta) = +1$ .

Answer 4

No, ese no es el caso. Ad usted muestra, las filas en su $A$ serán necesariamente ortogonales entre sí, y la primera fila tiene norma $1$ -- pero la norma de la segundo fila no es necesariamente $1$ .

Si escalas cada uno de $x'(t)$ y $y'(t)$ en la segunda fila por $\dfrac{1}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}$ , sí que se obtiene todo $SO(2)$ , suponiendo que su $x'(t)$ y $y'(t)$ nunca desaparecen al mismo tiempo.

Answer 5

(3) sólo se cumple a veces, y sólo en los momentos en que (3) es cierto, A es ortogonal.

Más concretamente, la razón por la que A es ortogonal cuando A es algún múltiplo de la matriz de rotación es que (x(t), y(t)) describe un círculo, por lo que la posición es ortogonal a la velocidad.

Para A donde la posición no es ortogonal a la velocidad, la conjetura es falsa.