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Estanqueidad e Integrabilidad Uniforme

Estoy tratando de desarrollar alguna intuición para los conceptos de estanqueidad e integrabilidad uniforme, en un contexto probabilístico.

(i) ¿Implica la integrabilidad uniforme la estanqueidad?

(ii) En caso contrario, es X_n(x)=I_{[n, n+1]} ¿uniformemente integrable? Si tomamos el espacio de medidas compuesto por Borel \sigma -álgebra en \mathbb{R} con la medida de Lebesgue, (\mathbb{R}, \mathcal{B}, \lambda) , entonces es f_n(x)=I_{[n, n+1]} ¿uniformemente integrable? Ciertamente, no es ajustado, pero \mathbb{E}[|f_n|I_{[|f_n| \geq K]}] \leq \varepsilon parece satisfacer la condición de integrabilidad uniforme.

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Davide Giraudo Puntos 95813

(i) De hecho, incluso una secuencia (X_n)_{n\geqslant 1} que está acotado en \mathbb L^1 (es decir, \sup_n\mathbb E|X_n| <\infty ) está ajustado. Esto se desprende de la desigualdad \mathbb P\{|X_n|\gt R  \}\leqslant \frac 1R\mathbb E[|X_n|]\leqslant \frac 1R\sup_j\mathbb E[|X_j|].

(ii) Cuando el espacio de medidas subyacente no es finito, utilizamos más bien la siguiente definición de integrabilidad uniforme: la familia \left(f_i\right)_{i\in I} es uniformemente integrable si para cada \varepsilon existe una función integrable g tal que \sup_{i\in I}\int_{\{|f_i|\geqslant g }|f_i|<\varepsilon . Con la definición clásica en el contexto del espacio de probabilidad, encontraríamos que la secuencia (\mathbf 1_{(0,n)})_{n\geqslant 1} es uniformemente integrable, lo que no es aceptable porque ni siquiera está acotado en \mathbb L^1 .

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Gracias por esta respuesta. ;)

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