Estanqueidad e Integrabilidad Uniforme

Question

Estoy tratando de desarrollar alguna intuición para los conceptos de estanqueidad e integrabilidad uniforme, en un contexto probabilístico.

(i) ¿Implica la integrabilidad uniforme la estanqueidad?

(ii) En caso contrario, es $X_n(x)=I_{[n, n+1]}$ ¿uniformemente integrable? Si tomamos el espacio de medidas compuesto por Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{R}$ con la medida de Lebesgue, $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, \lambda)$ , entonces es $f_n(x)=I_{[n, n+1]}$ ¿uniformemente integrable? Ciertamente, no es ajustado, pero $\mathbb{E}[|f_n|I_{[|f_n| \geq K]}] \leq \varepsilon$ parece satisfacer la condición de integrabilidad uniforme.

Answer 1

(i) De hecho, incluso una secuencia $(X_n)_{n\geqslant 1}$ que está acotado en $\mathbb L^1$ (es decir, $\sup_n\mathbb E|X_n| <\infty$ ) está ajustado. Esto se desprende de la desigualdad $$\mathbb P\{|X_n|\gt R  \}\leqslant \frac 1R\mathbb E[|X_n|]\leqslant \frac 1R\sup_j\mathbb E[|X_j|].$$

(ii) Cuando el espacio de medidas subyacente no es finito, utilizamos más bien la siguiente definición de integrabilidad uniforme: la familia $\left(f_i\right)_{i\in I}$ es uniformemente integrable si para cada $\varepsilon$ existe una función integrable $g$ tal que $\sup_{i\in I}\int_{\{|f_i|\geqslant g }|f_i|<\varepsilon$ . Con la definición clásica en el contexto del espacio de probabilidad, encontraríamos que la secuencia $(\mathbf 1_{(0,n)})_{n\geqslant 1}$ es uniformemente integrable, lo que no es aceptable porque ni siquiera está acotado en $\mathbb L^1$ .