Digamos que tengo 4 pares de bolígrafos idénticos (digamos rojo, azul, verde y negro).
¿De cuántas maneras puedo disponerlos de forma que no haya dos bolígrafos idénticos uno al lado del otro?
La inclusión/exclusión funciona (obtengo 864) pero parece un poco largo. ¿Hay otra manera de hacer este problema?
Me he dado cuenta de que el 864 es $4 \times 6^3$ o en otras palabras $4 \times \binom{4}{2}^3$ ¿podría ser útil?
Sea 1 el color que aparece primero, 2 el que aparece después.
Las cuatro primeras plumas pueden ser 1212, 1213, 1231, 1232, 1234.
Hay una forma de completar el 1212: debe ser el 3434.
Tanto para el 1231 como para el 1232, hay 3 maneras de colocar los 4s, y dos maneras de colocar los otros dos, así que seis maneras cada uno.
Para 1234, hay 3*3*2*1 maneras de colocar los otros 4, así que 18.
para el 1213, hay una vía que empieza por el 12132, y cuatro que empiezan por el 12134.
En total, son 1+6+6+18+5 = 36 patrones.
Multiplique por 24 formas de sustituir los números por colores, y obtendrá 864
La respuesta para $n$ pares se tabula en el Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros . La fórmula, $$\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^{n-k}(n+k)!/2^k$$ lo que sugiere fuertemente que la Inclusión-Exclusión es el camino a seguir. Hay más información en esa página.
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