Si $R$ es uniforme $(0,1)$ y $\Psi$ es uniforme $(0,2\pi)$ ¿Qué es la ley de densidad de $(X,Y)=(R\cos\Psi ,R\sin\Psi)$ ?
He intentado lo siguiente:
Separo los casos en los que $\Psi\in (0,\pi/2)$ , $\Psi\in (\pi/2,\pi)$ , $\Psi\in (\pi,3\pi/2)$ y $\Psi\in (3\pi/2,2\pi)$ .
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Para el primero, $(x,y)=g(r,\psi )=(r\cos\psi ,r\sin\psi )$ implica que $(r,\psi )=h(x,y)=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(y/x))$ y por lo tanto $$f_{X,Y}(x,y)=f_{R, \Psi}(h(x,y))|J_{h}(x,y)|,\ \ if\ x^2+y^2\leq 1, x,y>0,$$
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Para el segundo, $(x,y)=k(r,\psi)=(r\cos\psi,r\sin\psi)$ implica $(r,\psi)=\ell(x,y)=(\sqrt{x^2+y^2}, \pi-\arctan(y/x))$ y por lo tanto $$f_{X,Y}(x,y)=f_{R,\psi}(\ell(x,y))J_{\ell}(x,y),\ \ if\ x^2+y^2\leq 1, x<0, y<0.$$
Pero ahora, ¿cómo puedo saber $f_{X,Y}(x,y)$ cuando $x=0$ Es decir, qué es $f_{X,Y}(0,y)$ para $y\in [0,1]$ ? Porque no consideré en mi manipulación ya que evito $\psi=\pi/2$ . Puedo calcular $F_{X,Y}(0,y)$ pero para conseguir $f_{X,Y}(0,y)$ No puedo derivar, así que estoy un poco enredado.
