¿Cuántas soluciones existen para esta ecuación?

Question

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 28$$ He intentado resolverlo con funciones generadoras. ¿Es correcto llegar a la forma de

$${(1 + x + {x^2} + {x^3} + ....)^4}$$

y esto es igual a:

$${(1 - x)^{ - 4}}$$

y luego resolverlo con la expansión binomial? ¿Es esto correcto?

toda pregunta similar a "¿cuántas soluciones existen para esta ecuación?" ¿se puede resolver con este método?

Sé que hay muchos métodos y manipulaciones para este tipo de problemas. ¿Puedes confirmar que es el camino correcto para este tipo de problemas?

Es como distribuir 28 cosas en 4 objetos. Por eso utilicé funciones generadoras.

Answer 1

Asumiré que está preguntando por el número de soluciones con $x_i\in\mathbb{N}$ para cada $i$ (donde $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ ). Si se buscan soluciones reales, es evidente que hay infinitas.

El número de soluciones integrales de $x_1+x_2+\dots+x_k=n$ con cada $x_i\geq 0$ se da como $$\binom{n+k-1}{k-1}$$

Esto se puede ver a través de estrellas&barras .

Answer 2

Sí, la expansión binomial de $(1-x)^{-4}$ funcionará.

No, muchos otros tipos de preguntas como esta no pueden ser resueltas con este método.

Aquí hay una ampliación útil:

$(1-x)^{-n} =\sum_{k=0}^{\infty} \binom{-n}{k}(-x)^k =\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{-n}{k}x^k $ .

Y,

$\begin{array}\\ \binom{-n}{k} &=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)...(-n-k+1)}{k!}\\ &=\frac{(-1)^k(n)(n+1)(n+2)...(n+k-1)}{k!}\\ &=(-1)^k\frac{(n-1)!(n)(n+1)(n+2)...(n+k-1)}{k!(n-1)!}\\ &=(-1)^k\binom{n+k-1}{k}\\ \end{array} $

Por lo tanto, observando que los dos $(-1)^k$ se anulan entre sí, $(1-x)^{-n} =\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k}x^k $ .