Isomorfismo entre el espacio dual y las formas bilineales

Question

Estudiando desde el Álgebra Lineal Avanzada de Roman, quiero demostrar que $$U^* \otimes V^* \cong (U \otimes V)^* \cong \hom(U,V;\mathbb{F})$$ El autor demuestra que $U^* \otimes V^* \cong (U \otimes V)^*$ demostrando que existe una única transformación lineal

$$\theta:U^* \otimes V^* \to (U \otimes V)^*$$

definido por $\theta(f \otimes g)=f \odot g$ donde $(f \odot g)(u \otimes v)=f(u)g(v)$

Quiero demostrar que $U^* \otimes V^* \cong \hom(U,V;\mathbb{F})$ . He intentado utilizar la propiedad universal fijando $f \in U^*, g\in V^*$ y definiendo $S: U^*\times V^* \to \hom(U,V;\mathbb{F})$ como $S(f,g)=F_{f,g}$ , donde $F_{f,g}(u,v)=f(u)g(v)$ pero me quedé atascado.

Answer 1

Es mucho más fácil demostrar que $(U\otimes V)^{\ast}\cong \mathrm{hom}(U,V;\mathbb{F})$ . Esto se debe a que cualquier mapa bilineal $F:U\times V\to\mathbb{F}$ induce un homomorfismo único $F':U\otimes V\to\mathbb{F}$ y viceversa. Tenga en cuenta que $F'\in (U\otimes V)^{\ast}$ la propiedad universal nos da la biyección.