Encontrar el límite de una función exponencial difícil

Question

Estoy perplejo en esta cuestión, ¡cualquier ayuda o consejo sería apreciado!

Encuentra el límite, si existe:

$$\lim_{x\to\infty } \left(\sqrt{e^{2x}+e^{x}}-\sqrt{e^{2x}-e^{x}}\right)$$

Answer 1

Siempre es una buena idea intentar multiplicar por el recíproco:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}+e^x}{\sqrt{e^{2x}+e^x}+\sqrt{e^{2x}-e^x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x}{\sqrt{e^{2x}+e^x}+\sqrt{e^{2x}-e^x}}$$

entonces multiplica el numerador y el denominador por $e^{-x}=\sqrt{e^{-2x}}$ para conseguir $$\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+e^{-x}}+\sqrt{1-e^{-x}}}$$

que se destinará a $1$ .

Answer 2

Otra forma podría ser considerar $$A=\sqrt{e^{2x}+e^{x}}-\sqrt{e^{2x}-e^{x}}=e^x\Big(\sqrt{1+\frac 1 {e^x}}-\sqrt{1-\frac 1 {e^x}}\Big)$$ y utilizar las series de Taylor (o el teorema del binomio generalizado) $$\sqrt{1+y}=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+O\left(y^3\right)$$ Sustitución de $y$ por $e^{-x}$ en el primer término y por $-e^{-x}$ en el segundo término conducen a $$A=1+\frac{e^{-2 x}}{8}+\cdots$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.

Answer 3

$$\sqrt{e^{2x}+e^x}-\sqrt{e^{2x}-e^x}$$ ahora toma $e^{2x}$ fuera común $$e^{x}(\sqrt{1+e^{-x}}-\sqrt{1-e^{-x}})$$ ahora utiliza la aproximación binomial $$e^x(1+1/2e^{-x}-1+1/2e^{-x})=e^{x}.e^{-x}=1$$