Relación entre la función entera de tipo exponencial y los polinomios exponenciales

Question

¿Es cierto en general que la teoría de la función entera de tipo exponencial y la de los polinomios exponenciales (con exponentes puramente imaginarios) son análogas?

¿Se pueden derivar resultados sobre funciones enteras de tipo exponencial utilizando resultados sobre polinomios exponenciales?

Por ejemplo, me pregunto si es posible derivar teoremas de muestreo sobre funciones de banda limitada estudiando las propiedades de los polinomios exponenciales.

¿Y la distribución de los ceros?

Answer 1

Los polinomios exponenciales son muy especiales entre todas las funciones de tipo exponencial. Sus ceros se acumulan hasta un número finito de direcciones: hay un número finito de números $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ de tal manera que los argumentos de los ceros se acumulan sólo a los $\theta_j$ . Las funciones enteras generales de tipo exponencial pueden tener argumentos de ceros distribuidos arbitrariamente, por ejemplo, de manera uniforme.

Además, $\log M(r)$ , donde $M(r)=\max_{|z|\leq r}|f(z)|$ para polinomios exponenciales es como $(c+o(1))r$ mientras que para las funciones enteras generales de tipo exponencial, el límite $(\log M(r))/r$ podría no existir.

Hay muchas otras propiedades específicas de los polinomios exponenciales: sus coeficientes de Taylor, los ceros y todo lo demás.