Integral difícil de la función delta de Dirac

Question

Hola compañeros de Stack,

Estoy atascado en una integral difícil que casi parece que se puede lograr con una transformada de Laplace de un solo lado, pero más que probablemente se puede resolver utilizando las técnicas de simplificación de la Delta de Dirac. Debo confirmar que

$$I=\displaystyle{\int_{0}^{-\infty}}dx\,\delta(\cos(x))e^{-x}=\dfrac{1}{2\sinh\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)}.$$

Esto es lo que tengo hasta ahora utilizando una pregunta anterior:

$\delta(\cos(x))\Rightarrow g(x)=\cos(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}(2n+1), \text{ where } n\in\mathbb{Z}_{+}\cup\{0\}.$ Entonces $g'(x)=-\sin(x).$ Así que tengo $$I=\displaystyle{\int_{0}^{-\infty}}dx\,\dfrac{\delta[x-\dfrac{\pi}{2}(2n+1)]}{\big\lvert\,-\sin(\dfrac{\pi}{2}(2n+1))\big\rvert}e^{-x}=\dfrac{1}{2\sinh\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)}.$$ Ahora no tengo nada que hacer. ¿Procedo con una Transformada de Laplace? Por favor, ayúdenme con una pista y terminaré el problema y llegaré a la solución con honor y dignidad. Gracias a todos por su ayuda y su tiempo.

Answer 1

Tienes que $$ \int_0^{+\infty}{\delta(\cos x)e^{-x}dx}=\sum_{n=0}^{+\infty}{e^{-\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)}}=\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}}{1-e^{-\pi}}=\frac{1}{2\mathrm{sh}\left(\frac{\pi}{2}\right)} $$