Resolución de sistemas de ecuaciones lineales en el campo complejo.

Question

Necesito demostrar que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, sin embargo esto es sobre el campo complejo.

¿Cómo podría resolver esto?

Uno de los sistemas es:

$$\left\{\begin{align*} &2x_1+(-1+i)x_2+x_4=0\\ &3x_2-3ix_3+5x_4=0\;. \end{align*}\right.$$

Sin embargo, por más que lo miro, no encuentro la forma de reducirlo lo suficiente en la matriz como para que sea práctico resolverlo. ¿Hay alguna otra forma de demostrar que dos sistemas son equivalentes?

Answer 1

Lo resuelves exactamente igual que en el caso real. Es decir, como es indeterminado, tienes que elegir dos variables que dejarás indeterminadas (digamos $x_3$ y $x_4$ ), y formar la ecuación matricial

$$\left[\begin{array}{cc}2 & -1+i \\0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x_4\\3ix_3-5x_4\end{array}\right]$$

y luego invertir la matriz para obtener

$$\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}3 & 1-i \\0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-x_4\\3ix_3-5x_4\end{array}\right] = \frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}(-3+3i)x_3+(-8+5i)x_4\\6ix_3-10x_4\end{array}\right]$$

Ahora puedes hacer lo mismo con tu otro sistema y verificar que obtienes las mismas expresiones para $(x_1,x_2)$ .