Demuestre que si $X$ tiene la topología discreta, entonces $X$ está totalmente desconectado. ¿Se puede decir lo contrario?

Question

Un espacio es totalmente desconectado si sus únicos subespacios conectados son conjuntos de un punto de un punto. Demuestre que si $X$ tiene la topología discreta, entonces $X$ está totalmente desconectado. ¿Se puede decir lo contrario?

mis intentos : sé que Totalmente desconectado significa que no hay dos puntos en la misma componente conectada. Así que para $x,y\in X$ no hay ningún conjunto conectado que contenga ambos puntos. En particular, el conjunto $\{x,y\}$ no está conectado, por lo tanto es discreto ..

Como no puedo probar esto

Ayúdame, por favor

Answer 1

Como contraejemplo, consideremos el conjunto $$ X = \{1/n : n = 1,2,3,\dots\} \cup \{0\} \subset \Bbb R $$ Verifique que $X$ es totalmente desconectado, pero no es discreto ya que el subconjunto $\{0\}$ no se abre.

Answer 2

Un conjunto $X$ es totalmente desconectado si los únicos subconjuntos conectados $S \subset X$ son conjuntos de puntos. Nótese que los puntos son abiertos en la topología discreta, lo que significa que si $S \subset X$ contiene dos o más puntos, se puede escribir $S$ como la unión de sus puntos, que son abiertos y obviamente disjuntos $\rightarrow S$ se desconectará. Esto significa que los únicos componentes conectados serán los puntos $\rightarrow X$ está totalmente desconectado.