Ayuda a la diferenciación implícita

Question

Tengo que usar la diferenciación implícita para encontrar $\frac{dy}{dx}$ dado:

$$x^2 \cos(y) + \sin(2y) = xy$$

No sé ni por dónde empezar, me perdí la clase en la que repasamos la diferenciación implícita, y por eso, estoy completamente atascado.

Gracias a todos.

Edición: No sé cómo hacer que la ecuación se vea bien y todo eso, así que lo siento

Answer 1

Diferenciación con respecto a $x$ tenemos $$2x \cos{y} - x^2\sin{y}\frac{\text dy}{\text dx} + 2\cos{2y}\frac{\text dy}{\text dx} = y + x \frac{\text dy}{\text dx}$$

De lo anterior se desprende \begin{align*} 2x \cos{y} - y &= x \cdot\frac{dy}{dx} + \sin{y}\cdot\frac{dy}{dx} -2\cos{2y}\cdot\frac{dy}{dx} \\ &= \frac{dy}{dx} \cdot \Bigl[ x + \sin{y} - 2\cos{2y}\Bigr] \end{align*}

Tome todas las $\frac{\text dy}{\text dx}$ a un lado y luego simplificar. Y mira esto Enlace a Wikipedia . Tienes algunos ejemplos trabajados.

Answer 2

Ampliando mi comentario anterior . Suponga que tiene una función implícita diferenciable diferenciable $F(x,y)=0$ . Dejemos que $y=f(x)$ denota la función tal que $F(x,f(x))\equiv 0$ . Esta función $f(x)$ no es necesario que se conozca explícitamente, como se señala en la respuesta de Christian Blatter.

Si se diferencian ambos lados de $F(x,y)=0$ y aplicar el regla de la cadena , se obtiene lo siguiente derivado total con respecto a $x$ :

$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{% \partial F}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\equiv 0.\qquad (1)$$

Resolver $(1)$ para $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , le ofrece lo siguiente fórmula

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\partial F}{\partial x}/\frac{% \partial F}{\partial y}.\qquad (2)$$

Para $F(x,y)=x^{2}\cos (y)+\sin (2y)-xy$ ya que las derivadas parciales son

$$\frac{\partial F }{\partial x}=2x\cos y-y\quad\text{ and }\qquad \frac{\partial F }{\partial y} =-x^{2}\sin y+2\cos 2y-x,$$

la derivada de $y=f(x)$ es

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{2x\cos y-y}{-x^{2}\sin y+2\cos 2y-x}.$$

Como nota final digo que la forma en que presenté el cómputo es la misma que se explica en Cálculo avanzado libro de Angus Taylor. He visto este cálculo realizado aquí muchas veces sin considerar las derivadas parciales explícitamente, pero es esencial lo mismo que cuando se evalúan esas derivadas parciales.

Answer 3

Una ecuación $F(x,y)=0$ define una curva $\gamma$ en el $(x,y)$ -Avión. En la mayoría de los casos (como aquí) es imposible resolver la ecuación de $y$ explícitamente. Pero se puede decir lo siguiente: Cualquier punto $(x_0,y_0)\in\gamma$ donde $F_y(x_0,y_0)\ne 0$ es el centro de una ventana rectangular $W$ , de tal manera que $\gamma \cap W$ es la gráfica de una función ("local") $y=\phi (x)$ . Se puede pedir la derivada $\phi'$ en particular por su valor en $x_0$ . En el curso de cálculo que te perdiste se muestra que este valor se puede calcular ${\it without\ formally\ solving\ the\ equation}$ $F(x,y)=0$ . El resultado es $$\phi'(x_0)=-{F_x(x_0,y_0)\over F_y(x_0,y_0)}\ .$$ Haciendo el cálculo se obtiene una expresión que contiene ambas variables $x$ y $y$ . Si $(x_0,y_0)\in\gamma$ se da por adelantado, puede simplemente introducir estas coordenadas. Si no, su derivada $\phi'$ no aparece en función de $x$ sino en función de $x$ y $y\ (=\phi(x))$ . Además, la expresión resultante no está determinada de forma única, ya que puede simplificarse mediante la ecuación $F(x,y)=0$ .

Answer 4

La idea es que $y$ es una función de $x$ . Por lo tanto, para diferenciar términos como $f(y)$ se utiliza el regla de la cadena :

$$ \frac{d}{dx}(f(y)) = f'(y) \frac{dy}{dx}. $$

También hay que utilizar el regla del producto para diferenciar el producto de dos o más términos (cosas como $x^2 y$ o $x^5 \sin(y)$ o $x \sin(xy^2)$ etc.).

Junto con los comentarios y enlaces anteriores, esto debería ser más que suficiente para que te pongas en marcha.