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Encontrar el valor de una integral impropia dado el valor de otra integral

Calcula el valor de I. I=0sin(x)xpdx . En el sitio web 0<p<1,0xp11+xdx=πsin(pπ) . Attempt Para ser sinceros, no hay ningún progreso concreto. Sólo he intentado hacer I(s)=esxpsin(x)xpdx y luego calcular dI(s)ds . Pero no ayudó mucho . Otra idea era calcular la integral definida de eixxp y luego extraer el valor de la parte imaginaria de esta integral.

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sHaH.. Puntos 1765

Utilizando la transformada de Laplace, obtenemos I=0Lt(sinx)L1t(xp)dt=0tp11+t21Γ(p)dt Podemos encontrar fácilmente 0tp11+t2dt mediante el uso de la sustitución u=t2 : 0tp11+t2dt=120up/211+udu=π2cscpπ2 Por lo tanto, I=π2cscpπ21Γ(p)=Γ(1p)cospπ2 Cuando 0<p<2 .

3voto

mrtaurho Puntos 6

Como se menciona en los comentarios, esta integral puede abordarse utilizando Teorema maestro de Ramanuajan como se hizo de forma similar en esta respuesta .

Para aplicar realmente el Teorema Maestro de Ramanujan tenemos que remodelar un poco la integral. Para ser precisos aplicando la sustitución x2=u se rinde a lo siguiente

J=0sin(x)xp dx=0xpn=0(1)nx2n+1(2n+1)!dx=120xpn=0(x2)n(2n+1)!2xdx=120up/2n=0(u)n(2n+1)!du=120up/2n=0Γ(n+1)/Γ(2n+2)n!(u)ndu

La última integral se puede evaluar aplicando el Teorema Maestro de Ramanujan con s=1p2 y ϕ(n)=Γ(n+1)Γ(2n+2) . A partir de aquí obtenemos además

J=120up/2n=0Γ(n+1)/Γ(2n+2)n!(u)ndu=12Γ(1p2)Γ(((1p2)+1)Γ(2(1p2)+2)=12Γ(p)Γ(p2)Γ(1p2)=12Γ(p)πsin(πp2)

En general podemos escribir la igualdad

J=0sin(x)xp dx=12Γ(p)πsin(πp2)

La representación propedéutica de la integral que invoca cos(πp2) se puede deducir muy fácilmente utilizando la fórmula de reflexión de Euler con z=p

12Γ(p)πsin(πp2)=πΓ(p)cos(πp2)2sin(πp2)cos(πp2)=πΓ(p)sin(πp)cos(πp2)=Γ(1p)cos(πp2)

2voto

veeresh pandey Puntos 38

Tomando la transformada de laplace de

0sin(x)xpdx=1Γ(p)0sp1s2+1ds=Γ(1p)cospπ2

1voto

Skinner927 Puntos 106

NO UNA SOLUCIÓN:

Como parte de mi trabajo en otro problema Me he encontrado con el mismo problema. He buscado y sólo he encontrado un HyperGeometric representación para la integral. Es convergente para p>1 , pR

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