Calcula el valor de I. I=∫∞0sin(x)xpdx . En el sitio web 0<p<1,∫∞0xp−11+xdx=πsin(pπ) . Attempt Para ser sinceros, no hay ningún progreso concreto. Sólo he intentado hacer I(s)=∫e−sxpsin(x)xpdx y luego calcular dI(s)ds . Pero no ayudó mucho . Otra idea era calcular la integral definida de eixxp y luego extraer el valor de la parte imaginaria de esta integral.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Como se menciona en los comentarios, esta integral puede abordarse utilizando Teorema maestro de Ramanuajan como se hizo de forma similar en esta respuesta .
Para aplicar realmente el Teorema Maestro de Ramanujan tenemos que remodelar un poco la integral. Para ser precisos aplicando la sustitución x2=u se rinde a lo siguiente
J=∫∞0sin(x)x−p dx=∫∞0x−p∞∑n=0(−1)nx2n+1(2n+1)!dx=12∫∞0x−p∞∑n=0(−x2)n(2n+1)!2xdx=12∫∞0u−p/2∞∑n=0(−u)n(2n+1)!du=12∫∞0u−p/2∞∑n=0Γ(n+1)/Γ(2n+2)n!(−u)ndu
La última integral se puede evaluar aplicando el Teorema Maestro de Ramanujan con s=1−p2 y ϕ(n)=Γ(n+1)Γ(2n+2) . A partir de aquí obtenemos además
J=12∫∞0u−p/2∞∑n=0Γ(n+1)/Γ(2n+2)n!(−u)ndu=12Γ(1−p2)Γ(−((1−p2)+1)Γ(−2(1−p2)+2)=12Γ(p)Γ(p2)Γ(1−p2)=12Γ(p)πsin(πp2)
En general podemos escribir la igualdad
J=∫∞0sin(x)x−p dx=12Γ(p)πsin(πp2)
La representación propedéutica de la integral que invoca cos(πp2) se puede deducir muy fácilmente utilizando la fórmula de reflexión de Euler con z=p
12Γ(p)πsin(πp2)=πΓ(p)cos(πp2)2sin(πp2)cos(πp2)=πΓ(p)sin(πp)cos(πp2)=Γ(1−p)cos(πp2)
NO UNA SOLUCIÓN:
Como parte de mi trabajo en otro problema Me he encontrado con el mismo problema. He buscado y sólo he encontrado un HyperGeometric representación para la integral. Es convergente para p>1 , p∈R