¿Cuál es el valor de $ \angle x $ que se muestra a continuación?

Question

Como referencia: AB=CF

Mi progreso: Este es un típico ejercicio peruano en el que las soluciones son proporcionadas por líneas auxiliares. Intenté una forma pero no encontré la solución

Answer 1

Construir un triángulo equilátero $ABE$ . Porque $\angle AEB=2 \angle BCA$ , $E$ es el circuncentro de $ABC$ .
Así, $AB=FC=CE=BE=AE$ .

$\angle EAF=60^\circ-24^\circ=36^\circ, \angle AEC=180^\circ-72^\circ=108^\circ, \angle BEC=108^\circ-60^\circ=48^\circ, $ $\angle ECB=90^\circ-24^\circ=66^\circ, \angle ACE=36^\circ, \angle CFE=72^\circ, \angle FEA=36^\circ \implies AF=FE$

Por lo tanto, $\triangle ABF \cong \triangle BFE$ (SSS)

Finalmente, $2\angle AFB=360^\circ-108^\circ, \angle AFB=126^\circ=x+30^\circ, x=96^\circ$

Answer 2

Como puede verse AB es tangente a la circunferencia del triángulo BCD y tenemos:

$\angle ABC=180-(24+30)=126^o$

$\angle ABD=\angle BCD=30^o$

$\rightarrow \angle DBC=126-30=96^o$