¿qué se puede alcanzar mediante la degeneración plana de la intersección (globalmente) completa?

Question

Dejemos que $X\subset\mathbb{P}^n$ sea una intersección (globalmente) completa, y que $(X_t)_{t\in\mathbb{C}^1}$ sea una familia plana, con $X_1=X$ . ¿Qué tipos de esquemas podemos obtener como $X_0$ ?

O, a la inversa, ¿qué esquemas (incrustados, proyectivos) se deforman hasta completar las intersecciones?

Por ejemplo, algunos esquemas no ACM (no aritméticamente Cohen-Macaulay) se deforman a C.I. ¿Todo subesquema de dimensiones puras de $\mathbb{P}^n$ ¿deforma a una I.C.? Dos obstáculos inmediatos son el grado y el género aritmético. ¿Alguna otra condición necesaria?

(Sólo para el mantenimiento de la casa, un poco pregunta relacionada en las deformaciones de C.I.:)

upd: Me refería a la familia por encima del germen $(\mathbb{C}^1,0)$ para que no haya complicaciones con la geometría de la base.

Answer 1

Cualquier cosa con el mismo polinomio de Hilbert que una intersección globalmente completa. Esto es cierto porque dos fibras de la misma familia proyectiva plana tienen el mismo polinomio de Hilbert, y porque el esquema de Hilbert es conexo. EDIT: Como se requiere que la base de la familia plana sea irreducible, el esquema proyectivo debe estar en la misma componente irreducible del esquema de Hilbert como intersección completa. No conozco ninguna caracterización agradable de cuándo es este el caso.

El polinomio de Hilbert de una intersección completa es fácil de calcular utilizando el complejo de Koszul. Los coeficientes serán algún conjunto de polinomios en los grados de las hipersuperficies que intersecan completamente. Puedes establecerlos igual a los coeficientes reales del polinomio de Hilbert y comprobar si el sistema de ecuaciones tiene una solución entera positiva.

Computacionalmente, basta con comprobar todas las factorizaciones posibles del grado.

Para las curvas, el grado, el género aritmético y la dimensión de la incrustación son los únicos invariantes necesarios. La última es importante. Por ejemplo, un género $5$ , grado $8$ es la intersección completa de tres grados $2$ hipersuperficies en $\mathbb P^4$ pero no la intersección completa de cualquier par de hipersuperficies en $\mathbb P^3$ .