Condición suficiente para $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=1$

Question

Supongamos que $a_n$ y $b_n$ tienen un límite finito. Entonces, ¿es cierto que $\lim_{n \rightarrow\infty} \frac{b_n}{a_n}=1$ es suficiente para garantizar que $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=1$ ?

Intento:

Si $\lim_{n \rightarrow\infty} \frac{b_n}{a_n}=1$ entonces $\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{1}{ \frac{b_n}{a_n}}=\frac{1}{1}=1$

Answer 1

Si $x_n = b_n/a_n \rightarrow L \neq 0$ entonces $x_n^{-1} = a_n/b_n \rightarrow L^{-1}.$

Tenemos

$$|x_n^{-1}- L^{-1}| = \frac{|x_n - L|}{|x_n||L|}.$$

Si $(x_n)$ converge entonces está acotado y $|x_n| > K > 0$ para $n$ suficientemente grande si el límite es distinto de cero.

Tenga en cuenta que $||x_n| - |L|| \leq |x_n - L|< |L|/2$ para $n$ suficientemente grande y podemos tomar $K = |L|/2$ .

Por lo tanto,

$$|x_n^{-1}- L^{-1}| < \epsilon$$ cuando

$$|x_n - L| < K|L|\epsilon.$$

lo que será cierto para todos los $n$ suficientemente grande.

En este caso $L = 1$ .

Answer 2

Eso funciona bastante bien. Cuando los límites de las secuencias son finitos y distintos de cero, el límite de un cociente es el cociente de los límites respectivos. A saber, dejemos que $x_n = 1 \forall n$ y $y_n = a_n / b_n$ . Entonces $$\lim_n x_n / y_n = \lim_n x_n / \lim_n y_n = 1/1 = 1$$

que, como ha señalado, es lo que queríamos en primer lugar.