¿Por qué todas las transformaciones de los operadores cuánticos son automorfismos internos?

Question

Los operadores en la mecánica cuántica están básicamente relacionados entre sí a través de su álgebra de Lie, es decir, el conmutador $\times \frac{1}{i\hbar}$ . A continuación, se conecta con el espacio de estados, es decir, el espacio de Hilbert, a través de cualquier relación entre los vectores y los operadores en forma de elementos de la matriz, o sus vectores propios, etc.

Normalmente, cuando hablamos de simetrías, hablamos de transformaciones. Estas transformaciones pueden actuar sobre el espacio o sobre los operadores. A continuación, observamos cómo esta transformación cambia las relaciones entre ambos (el espacio y los operadores) para las simetrías. Cuando actuamos sobre el espacio, para preservar las relaciones entre los estados, nos fijamos en la transformación unitaria, es decir, en los automorfismos del espacio de Hilbert. Si queremos ver cómo cambiar los operadores, consideraríamos los automorfismos del álgebra de Lie matricial, algunos de los cuales se pueden escribir

$A\rightarrow U^{-1}AU$ para $U$ unitario

De hecho, se puede demostrar que la matriz unitaria que se utilizaría para la transformación espacial y la transformación del operador son las mismas. Sin embargo, no abarca todos los automorfismos, sólo los automorfismos internos para el álgebra de Lie. Sin embargo, tengo entendido que en la teoría de las álgebras de Lie existen exterior automorfismos que preservan el álgebra de Lie, pero corresponde a ninguna conjugación de matriz unitaria, por lo que no tengo claro cómo afecta esto a los estados debido a la fuerte correspondencia anterior. No estoy seguro de si estos surgen o pueden surgir en el estudio de la mecánica cuántica. Por favor, hazme saber si sabes de alguna otra estructura adicional que deba ser preservada para las relaciones de operadores si quieres reducirlas todas a conjugaciones unitarias.

Answer 1

La teoría cuántica de campos en el espaciotiempo de Minkowski tiene Simetría CPT que es antiunitario (sección II.5 en [3]), por lo que no es un automorfismo interno. Pero tampoco es un automorfismo externo; no es un automorfismo en absoluto. Dado que la pregunta se refiere específicamente a los automorfismos externos, intentaré abordarla. Esto está empujando los límites de las cosas que apenas he comenzado a entender, así que me apoyaré en gran medida en la literatura.

En el contexto de la teoría cuántica de campos, en cualquier modelo dado, podemos considerar el álgebra de von Neumann $A$ generados por los observables del modelo. Cualquier región $R$ del espaciotiempo está asociada a una subálgebra $A(R)\subset A$ cuyos observables se interpretan como localizados en esa región. El álgebra $A(R)$ no es necesariamente tipo I . En otras palabras, no es necesariamente isomorfo a un álgebra de todo operadores lineales acotados en cualquier espacio de Hilbert. De hecho, según la sección 6.5 de [1], existen al menos algunos ejemplos en los que $A(R)$ es un tipo III factor. (A factor es un álgebra de von Neumann con centro trivial). Según el ejercicio 14.4.12 de [2], un factor de tipo III en un espacio de Hilbert separable tiene un automorfismo exterior.

Incluso si $A(R)$ tiene un automorfismo exterior, podría no representar ningún simetría del modelo. Sin embargo, si mis inferencias poco sólidas son correctas, a veces sí lo es. Un ejemplo se describe en la sección V.4 de [3], y también se revisa muy bien en [4]. (No apoyo necesariamente las especulaciones propuestas en [4], pero incluye una buena revisión). Se trata de la grupo modular (es decir, el grupo de automorfismos modulares ), que también se revisa en [1]. En la página 7 de [4] se dice que "En general, el grupo modular... es no un grupo de automorfismos internos". El grupo modular depende de una elección de vector en el espacio de Hilbert. (Curiosamente, como se explica en las páginas 7-8 de [4], los grupos de automorfismos modulares definidos por diferentes vectores son todos equivalentes internos, pero creo que eso no viene al caso aquí). Si $R$ es una región de cuña en el espacio de Minkowski, como la cuña cubierta por un sistema de coordenadas de Rindler, entonces el grupo modular para $A(R)$ asociado al estado de vacío actúa geométricamente en $R$ , es decir, como refuerzos de Lorentz (página 248 de [3]). No he encontrado un directo La afirmación que confirma que este grupo modular particular consiste en automorfismos externos, pero el contexto sugiere fuertemente que lo hace, especialmente el contexto en [4]. Si esa inferencia es correcta, entonces esto parece ser un ejemplo de una simetría implementada por exterior automorfismos del álgebra de von Neumann.

No estoy seguro de cómo reconciliar esto con el hecho de que el grupo de Lorentz puede ser implementado por automorfismos unitarios (es decir, internos) en $A$ . Sospecho que los citados automorfismos exteriores son sólo exteriores en $A(R)$ y que se pueden implementar como automorfismos internos en $A$ pero no estoy seguro de ello. Realmente estoy sobrepasando los límites de mi entendimiento aquí.

Un par de notas adicionales:

• Según la sección V.4.2 de [3], "En general, las regiones de cuña son las únicas para las que los automorfismos modulares (inducidos por el estado de vacío) corresponden a transformaciones puntuales en el espacio de Minkowski. Sin embargo, si la teoría es conformemente invariante existen clases más amplias de regiones para las que los automorfismos modulares actúan geométricamente. Entre ellas se encuentran, como caso más importante, los diamantes...''

• En la sección 6.2 de [5] se describe una idea que relaciona el grupo modular (de presuntos automorfismos externos) con la correspondencia AdS/CFT, y esta sección, junto con el apéndice D, constituye también otra buena revisión de los antecedentes matemáticos.

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Referencias:

[1] Witten (2018), "Notas sobre algunas propiedades de enredo de la teoría cuántica de campos". http://arxiv.org/abs/1803.04993

[2] Kadison y Ringrose (1997), Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, volumen II: teoría avanzada (Sociedad Americana de Matemáticas)

[3] Haag (1996), Física cuántica local (Springer)

[4] Connes y Rovelli (1994), "Von Neumann algebra automorphisms and time-thermodynamics relation in general covariant quantum theories," http://www.alainconnes.org/docs/carlotime.pdf

[5] Papadodimas (2013), "State-Dependent Bulk-Boundary Maps and Black Hole Complementarity," https://arxiv.org/abs/1310.6335

Answer 2

Lo que escribes no es correcto, porque depende crucialmente de cuál sea tu álgebra de observables. Incluso en el primer formalismo cuantizado, tu álgebra (típicamente un $C^*$ - o álgebra de von Neumann) es lo suficientemente pequeño como para que haya muchos automorfismos que no sean internos. El ejemplo más sencillo es cuando su álgebra no es unital. Entonces los unitarios no pueden ser elementos del álgebra (porque entonces $U \, U^* = \mathbf{1}$ también sería un elemento del álgebra, pero eso significaría que el álgebra es unital), pero conjugar un elemento con algunos unitarios podría seguir dando un elemento del álgebra. Otro ejemplo es el álgebra de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Como los operadores compactos son un ideal de dos caras, para cualquier operador compacto $K$ y unitario $U$ el producto $U \, K , U^*$ es necesariamente un operador compacto.

Así que cuando estos se representan como operadores acotados en un espacio de Hilbert, y luego en ese potencial más grande álgebra de operadores acotados, son interiores. En el ejemplo anterior, se puede imaginar que los operadores compactos son un subconjunto propio de los operadores acotados (suponiendo todavía que el espacio de Hilbert es de dimensión infinita). Si el álgebra relevante son los operadores compactos, entonces no todos los automorfismos son internos. En cambio, si se considera el álgebra de limitado operadores, la conjugación por unitarios es necesariamente un automorfismo interno.