$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a^\frac{2i}{n}\cdot\frac{1}{n}=?$

Question

Resuelve la integral definida por definición de límite:

$$\int_{0}^2 a^x dx$$ $I \:have \:\:\Delta x = \frac{2}{n}\:\:; \:\:f(c_i)=a^\frac{2i}{n}$

Ahora tengo : $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a^\frac{2i}{n}\cdot\frac{1}{n}$$

No sé cómo manejarlo, necesito un poco de ayuda si es posible

Gracias de antemano :)

Answer 1

Para $r,c\in\mathbb{R}$ con $r$ tenemos que $$\sum_{i=1}^{n}cr^{i-1}=\frac{c(1-r^n)}{1-r}\tag{1}$$

$r$ se suele denominar ratio común y $c$ es sólo una constante.

Asumiré que $|a|<1$ ya que no se dieron condiciones. Usted quiere obtener $$\sum_{i=1}^{n}a^{2i/n}$$ en la forma de $(1)$ . Por lo tanto, para una $n\in\mathbb{N}$ realizamos algunas manipulaciones para obtener

(Se han editado las siguientes líneas porque eran incorrectas en el primer intento)

$$\sum_{i=1}^{n}a^{2i/n}=\sum_{i=1}^{n}\left(a^{2/n}\right)^i=a^{2/n}\sum_{i=1}^{n}\left(a^{2/n}\right)^{i-1}=a^{2/n}\frac{1-\left(a^{2/n}\right)^n}{1-a^{2/n}}$$

Debería ser más fácil evaluar la integral, que ahora es sólo $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a^{2/n}}{n}\cdot\frac{1-a^{2}}{1-a^{2/n}}$$