¿Puedo comprobar si $n$ con $\frac{n}{\phi(n)}=r$ ¿existe?

Question

Supongamos que un número racional $r$ se da.

¿Cómo puedo comprobar si hay un número entero positivo $n$ con $$\frac{n}{\phi(n)}=r$$ donde $\phi(n)$ denota la función totiente ?

En particular, necesito la respuesta para $r=\frac{(s+2)\cdot s}{s+1}$ con un número entero positivo $s$ para encontrar todas las soluciones de $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{\phi(x+y)}$$ con $\phi(x+y)|y$ . En este caso, el par $s\ge 2$ se puede descartar porque tenemos $$\frac{n}{\phi(n)}=\frac{p_1}{p_1-1}\cdots \frac{p_n}{p_n-1}$$ donde $p_1,\cdots ,p_n$ son los divisores primos de $n$ ( $n=1$ da $\frac{n}{\phi(n)}=1$ ) porque el numerador no puede ser divisible por $4$ . Conjeturo que $s=1$ y $s=3$ son los únicos casos con solución.

Answer 1

Si existe una solución, hay $n$ primos tales que $$\frac{p_1}{p_1-1} \cdots \frac{p_n}{p_n-1} = \frac{a}{b}.$$ Para facilitar la argumentación, que los primos $p_1 < \cdots < p_n$ y $\gcd(a,b)=1$ .

Ahora hay un primo más grande $p$ que divide $a$ . Porque $p_i -1 < p_n$ para todos $i$ Debemos tener $p=p_n$ . Por lo tanto,

$$\frac{p_1}{p_1-1} \cdots \frac{p_{n-1}}{p_{n-1}-1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{p_n-1}{p_n} = \frac{a'}{b'}$$ donde $a'$ y $b'$ están en forma reducida. Ahora resulta que $a'$ tiene un mayor divisor primo menor que $p_n$ . Así que podemos repetir este proceso como máximo $\pi(p)$ veces y obtener una solución o lograr una incoherencia.

Answer 2

Para impar $s>3$$$ s(s+2)>4(s+1) $$But $$ n>4\phi(n) $$only for even $ n=210, 330, 390$ y sus múltiplos.

Para $n=210=2\cdot3\cdot5\cdot7$$$ \phi(n)=(2-1)((3-1)(5-1)(7-1)=48 $$and$$ 210=4\cdot48+18 $$For multiples of $ 210 $, e.g. 420, 630$$ 420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7 $$so that$$ \phi(420)=\phi(2^2)\cdot2\cdot4\cdot6=96 $$and$$ 420=4\cdot96+36 $$Again$$ 630=2\cdot3^2\cdot5\cdot7 $$making$$ \phi(630)=\phi(3^2)\cdot4\cdot6=144 $$and$$ 630=4\cdot144+54 $$It can be shown, and is evident from R.D. Carmichael's "A table of values of m corresponding to given values of phi(m)", linked to in http://oeis.org[A000010-OEIS], that even $ n $ which are multiples of $ 3\cdot5\cdot7 $ are co-prime to fewer than one-fourth of the integers less than $ n $. Likewise for even multiples of $ 3\cdot5\cdot11 $ and $ 3\cdot5\cdot13 $. But not for even $ n $ in which the next greater prime after $ 3 $ and $ 5 $ is $ 17 $ or greater. Thus$$ 510=2\cdot3\cdot5\cdot17 $$and$$ \phi(510)=2\cdot4\cdot16=128 $$But$$ 510<4\cdot128=512$$

Así, si para algún impar $s$ además de $1$ y $3$$$ \frac{s(s+2)}{s+1}=\frac{n}{\phi(n)} $$even $ n $ must belong to one of three arithmetic sequences$$ 210, 420, 630, 840, 1050... $$or$$ 330, 660, 990, 1320, 1650... $$or$$ 390, 780, 1170, 1560, 1950... $$But in the first sequence$$ \frac{n}{\phi(n)}=\frac{210}{48}=\frac{420}{96}=\frac{630}{144}=\frac{840}{192}=\frac{1050}{240}=\frac{35}{8}\ne\frac{s(s+2)}{s+1}=\frac{35}{6} $$for $ s=5$

En la segunda secuencia $$\frac{n}{\phi(n)}=\frac{330}{80}=\frac{660}{160}=\frac{990}{240}...=\frac{33}{8}$$ Pero $$33\ne s(s+2)$$ para cualquier impar $s$ .

En la tercera secuencia $$\frac{n}{\phi(n)}=\frac{390}{96}=\frac{780}{192}=\frac{1170}{288}...=\frac{13\cdot15}{48}\ne \frac{s(s+2)}{s+1}=\frac{13\cdot15}{14}$$ para $s=13$ .

Por lo tanto, parece que la conjetura es cierta, que $$\frac{s(s+2)}{s+1}=\frac{n}{\phi(n)}$$ sólo para $s=1$ y $s=3$ .