Una colección que es un álgebra y aditividad contable

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto contable e infinito y $$\mathcal{F}:=\{A\subset X;\#A<\infty\ \text{or}\ \#A^C<\infty\}.$$

(a) Demuestre que $\mathcal{F}$ es un álgebra.

(b) Dado $A\in\mathcal{F}$ , define $$\mu(A):=\left\lbrace\begin{array}{c}0,\ \text{if}\ A\ \text{is finite}\\1,\ \text{if}\ A^C\ \text{is finite}\end{array}\right..$$ Demostrar que $\mu$ es aditivo finito, pero no es necesariamente aditivo contable.

Estoy con algunos problemas en (b). Tomando la familia finita y disjunta $\{A_j\}_{j=1}^n\subset\mathcal{F}$ , si $A_j$ es finito, para cada $j\in\{1,...,n\}$ es fácil ver que $\mu$ es finitamente aditivo, pero estoy apilado en los otros casos. Como $\{A_j\}$ es 2-2 disjunta, si tenemos $A_{j_0}^C$ finito, para algunos $j_0\in\Bbb{N}$ obtenemos $$A_k\subset A_{j_0}^C, \forall k\in\{1,...,n\}\setminus\{j_0\},$$ por lo que $$\bigcup_{\begin{array}{c}j=1\\j\ne j_0\end{array}}^{n}A_j\subset A_{j_0}^C,$$ así que $\bigcup_{\begin{array}{c}j=1\\j\ne j_0\end{array}}^{n}A_j$ es finito.

Entonces, ¿cómo concluir lo que queremos? Esto me parece muy confuso.

Answer 1

Enumerar $X= \{x_n:n\in\mathbb{N}\}$ y elija $A_n = \{x_n\}$ . Entonces $\bigcup_n A_n = X$ pero $\mu(A_n) = 0$ para todos $n$ .

No sé si estoy respondiendo específicamente a su pregunta.

Answer 2

El otro caso es que uno de los $A_j$ , digamos que $A_{j_0}$ tiene un complemento finito. Entonces el complemento de $\bigcup_{k=1}^nA_k$ es finito, por lo que $\mu\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=1$ . Basta con demostrar que no hay $j_1\in\{1,\dots,n\}\setminus \{j_0\}$ tal que $A_{j_1}$ tiene un complemento finito. De lo contrario, significaría que $A_{j_0}^c$ y $A_{j_1}^c$ son ambos finitos, por lo que también lo sería su unión, que en realidad es $X$ .