¿Por qué es omnipresente el Laplaciano?

Question

El título lo dice todo.

Me pregunto por qué el Laplaciano aparece en todas partes, por ejemplo, en la teoría de los números, la geometría de Riemann, la mecánica cuántica y la teoría de la representación. Y la gente parece preocuparse por sus valores propios. ¿Hay alguna razón profunda detrás de esto?

Answer 1

Al ser la pregunta muy amplia, su amplitud se refleja en las posibles respuestas. Así que, aunque sea trivial, doy una observación básica sólo para componer el marco complaciente:

Un operador diferencial lineal L en el espacio de Schwartz en $\mathbb{R}^n$ es invariante bajo el grupo euclidiano, es decir $L\circ {R^{\ast}}={R^{\ast}}\circ L$ para cualquier $R\in E(n)$ si y sólo si hay un polinomio en una indeterminada $P(T)$ tal que $L=P(\Delta)$ .

Para una referencia, véase el teorema 8.51 en Folland G., Real Analysis, 2nd Ed. .

Disculpen si esta observación es demasiado elemental.

Answer 2

Es el operador de Euler-Lagrange para el $L^2$ norma del gradiente de una función, curva, campo vectorial, lo que sea, que resulta ser un funcional natural e importante en física, geometría y muchos otros escenarios.

Answer 3

Para ampliar lo que Andrey ha mensionado sobre el movimiento browniano. El laplaciano es uno de los puntos de conexión entre los procesos estocásticos y el análisis. El laplaciano aparece como el generador infinitesimal del movimiento browniano y, a la inversa, un operador autoadjunto que tenga algunas de las propiedades del laplaciano puede utilizarse para definir un "movimiento browniano" en espacios distintos de $\mathbb{R}^{d}$ . Por ejemplo, una de las primeras pruebas de la existencia de un movimiento browniano en la alfombra de Sierpinski se centra en crear primero un laplaciano en la alfombra de Spierpinski.

En este contexto, los valores propios del laplaciano pueden utilizarse para determinar las propiedades del núcleo de calor asociado al movimiento browniano, como la continuidad o la gaussiana/subgaussiana u otros límites.

Espero que esto le dé una parte de lo que ha pedido.

Answer 4

El laplaciano es un operador diferencial de segundo orden que es a la vez lineal y invariante bajo cualquier movimiento de cuerpo rígido (rotaciones y traslaciones). No existe ningún operador no trivial más sencillo con estas propiedades. En la modelización de muchos fenómenos físicos, se espera que surjan estas dos propiedades, por lo que a veces la aproximación más simple basada en principios físicos conduce al Laplaciano.