El título lo dice todo.
Me pregunto por qué el Laplaciano aparece en todas partes, por ejemplo, en la teoría de los números, la geometría de Riemann, la mecánica cuántica y la teoría de la representación. Y la gente parece preocuparse por sus valores propios. ¿Hay alguna razón profunda detrás de esto?
El laplaciano de una función $u$ en un punto $x$ mide el grado medio en que el valor de $u$ en $x$ se desvía del valor de $u$ en puntos cercanos a $x$ (véase el teorema del valor medio para las funciones armónicas). Como tal, se da de forma natural en cualquier sistema en el que alguna cantidad en un punto está influida por el valor de la misma cantidad en puntos cercanos. (Esto también explica el vínculo entre el laplaciano y el movimiento browniano (o paseos aleatorios), en el que se viaja repetidamente desde un punto $x$ a un punto cercano seleccionado al azar para $x$ .)
La noción de "puntos cercanos" sólo requiere una estructura métrica riemanniana en el espacio subyacente, por lo que el laplaciano es un invariante riemanniano natural (y también un invariante conforme en dos dimensiones). Esto lo convierte en un útil sustituto de la teoría de operadores para la estructura riemanniana o conforme, en particular permitiendo que uno utilice la teoría espectral para empezar a controlar la geometría riemanniana o conforme de un dominio. Al ser invariante, también tiene muchas posibilidades de conmutar (o casi conmutar) con otros operadores invariantes interesantes (por ejemplo, las derivadas parciales, los operadores de Hecke, los operadores de calor u onda, etc.), por lo que la teoría espectral del laplaciano suele ser útil para iluminar la teoría espectral y la dinámica de muchos otros objetos invariantes.
La importancia del laplaciano es un reflejo de la importancia de la geometría riemanniana, tanto por sí misma como en estos otros campos. (Obviamente, a falta de una generalización, no se puede tener un laplaciano sin una métrica riemanniana). En la geometría de Riemann, el laplaciano es el primer operador diferencial lineal escalar disponible que es "covariante", es decir, que depende sólo de la estructura de Riemann y no de opciones adicionales como las coordenadas.
Es natural que la primera estructura posible no trivial de un tipo dado sea fundamental. Una de las razones es que puede ser una aproximación a algo más con términos de orden superior. Por ejemplo, en la ecuación de onda, si se entiende como un modelo realista de las ondas sonoras, en realidad hay todo tipo de efectos de orden superior, no lineales; pero se empieza con el operador de Laplace como la aproximación correcta para las ondas pequeñas. Tiene que ser correcta porque es la única disponible. Lo mismo ocurre con el calor y la ecuación del calor.
En realidad, ocurre algo interesante si se relaja el uso de la palabra "escalar". Si tienes una variedad de espín, entonces hay un operador de Dirac, que es un operador similar al Laplaciano que es igual de importante. Pero incluso aparte de esa construcción, hay otros operadores, como el laplaciano de Hodge, que actúan sobre campos vectoriales y tensoriales en lugar de sobre funciones escalares. No son exactamente iguales que el Laplaciano original, pero suelen recibir el mismo nombre.
En física, la razón esencial se reduce a la simetría. Uno espera que las leyes fundamentales de la física sean independientes de dónde se encuentre o de cómo esté orientado en el espacio, y si están descritas por campos escalares entonces hay buenas razones para esperar que estos campos sean extremos de una lagrangiana de primer orden que también tenga estas simetrías, es decir, que sean invariantes bajo movimientos euclidianos. Esto conduce naturalmente (véase la respuesta de Deane Yang) a las ecuaciones de campo que implican al laplaciano. Así es, en particular, como surgen las ecuaciones de campo para el potencial eléctrico y gravitatorio (newtoniano). (Por supuesto, esta es una respuesta MUY resumida; una versión completa llevaría muchas páginas).
El operador de Laplace es para el análisis y las EDP (casi) lo que la suma de cuadrados es para el álgebra lineal y la estadística.
El laplaciano es la forma cuadrática diferencial más sencilla que corresponde, mediante la transformada de Fourier, al cuadrado de la distancia euclidiana. Esto puede explicar en parte su papel fundamental en el Análisis Armónico sobre espacios euclidianos.
El Laplaciano (o, más exactamente, $\frac{1}{2}\Delta$ ) es el generador infinitesimal de un movimiento browniano en $\mathbb R^n$ que es el más simple y ubicuo de los procesos estocásticos de tiempo continuo.
El operador de Laplace-Beltrami en una variedad riemanniana es invariante conforme. La conexión entre las funciones armónicas, el análisis complejo y la probabilidad es la más estrecha en dimensión 2 (teorema de Levy, evolución de Schramm-Loewner, ...).
El operador de Laplace es la traza del coeficiente del término cuadrático en una expansión local de Taylor de una función (la matriz hessiana). Esto implica que aparecerá (junto con el determinante de la matriz hessiana) en muchos problemas relacionados con la optimización.
Mi opinión sobre esta cuestión: no es el operador, son las soluciones. Más explícitamente, las soluciones de $\Delta u=0$ gozan de la propiedad fundamental de que $u$ en un punto es la media de los valores de $u$ en los puntos circundantes. Estarás de acuerdo en que esta propiedad es muy física, y suena razonable para muchas cantidades que tienden a difundirse: calor, tensión, energía, etc. Y no sólo la física, también la matemática pura: superficies mínimas, variantes discretas que tienen que ver con procesos de promediación, etc. Básicamente, cada vez que hay una cantidad que se difunde a una escala de tiempo rápida, por lo que se puede hablar de un "equilibrio", se ve que sale esta propiedad de promediación (o algo parecido).
Ahora bien, la condición media es no local, y la forma de expresarla como ecuación local (diferencial) es precisamente diciendo que $\Delta u=0$ . Añada esto a todas las propiedades ya mencionadas (simetría, positividad, ser el multiplicador de Fourier más bonito posible, etc.) y se sorprenderá un poco menos.
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