En una familia con 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tengan 2 niños y 1 niña?

Question

Estoy haciendo preguntas de práctica a algunos regentes, y uno de ellos hizo

En una familia con 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que tengan 2 chicos y una chica?

Y las opciones de respuesta son

1. 3/8
2. 1/4
3. 1/8
4. 1/2

Mi maestro dijo que la respuesta era la primera opción, pero tengo problemas para entender por qué.

Mi enfoque fue dibujar las probabilidades, ya que tenemos 3 niños, y estamos buscando 2 niños y 1 niña, las probabilidades pueden ser Niño-Niña, Niño-Niña-Niño, y Niña-Niño-Niño. Así que una probabilidad de 2/3, pero no entiendo cómo es una probabilidad de 3/8. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

No, los posibles resultados son $$\mathsf{BBB, \boxed{\mathsf{BBG}}, \boxed{\mathsf{BGB}}, \boxed{\mathsf{GBB}}, BGG,\mathsf{GBG}, GGB, GGG}$$ donde $3$ cumplir el requisito. Hay $8$ posibles resultados, todos igualmente probables (si asumimos que cada género es igualmente probable). Por lo tanto, la elección es $3/8$ .

También podemos pensar en ello al menos de una manera más: Has identificado todas las formas posibles de conseguir 2 niños y una niña. Como los eventos son disjuntos, podemos sumar las probabilidades \begin {align*} P( \text {2 niños, 1 niña}) &= P( \mathsf {BBG})+P( \mathsf {BGB})+P( \mathsf {GBB}) \\ &= \frac {1}{2} \frac {1}{2} \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} \frac {1}{2} \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} \frac {1}{2} \frac {1}{2} \\ &= \frac {3}{8}. \end {align*}

Answer 2

Como hay dos géneros y tres niños, es $2^3=8$ permutaciones. Tenías tres permutaciones. Serían BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB y GGG. De ellas, las permutaciones con dos chicos y una chica son BBG, BGB y GBB. La respuesta es la relación entre el número de opciones que se ajustan a sus condiciones y el número total de posibilidades, $\frac{3}{8}$ .

Answer 3

Lo dibujé de esta manera:

Así que la respuesta es $\frac{3}{8}$ .

Otra forma de pensar en ello. Después de un primer niño necesitamos uno de cada (50%). Después de una primera niña debemos tener sólo niños (25%). Así que la probabilidad es $.5*\frac{1}{2} + .25*\frac{1}{2} = .375$ que también es igual a $\frac{3}{8}$ .

Answer 4

Combinaciones vs. Permutaciones

En caso de que esto cause confusión, las combinaciones no dependen del orden. Así que si tienes un billete de lotería, importa si tienes la combinación correcta de números. O en este caso, estamos preguntando por el número de niños y niñas, y no por el orden en que aparecieron. Las permutaciones hacer considerar el orden, por lo que sería más como un código para una caja fuerte que debe hacerse en orden, o las letras de una contraseña, o en este caso la secuencia de géneros donde BGB sería una secuencia diferente a GBB.

Así que una combinación es como la lista de cosas al principio de una receta, y la permutación es el orden en que se añaden los ingredientes. Puedes tomar la misma lista de cosas y añadirlas en diferentes cantidades y en diferentes órdenes, y probablemente habrá una gran diferencia en el resultado.

Trabajar a partir de combinaciones

Sólo para añadir que puede hacerlo a través de combinaciones, como pensabas al principio, pero tienes que tener en cuenta las probabilidades relativas de esas combinaciones, que se derivan del conjunto de permutaciones. Como hemos visto en las otras respuestas, hay 3 permutaciones de 8 que contienen 2 niños y una niña.

Pero, ¿y si nos fijamos en las combinaciones en su lugar? Las combinaciones de 2 géneros entre 3 niños son:

• 3 chicas
• 2 niñas, 1 niño
• 1 niña, 2 niños
• 3 niños

Ahora las frecuencias

• 3 chicas sólo se pueden arreglar de una manera, por lo que se trata de una frecuencia de 1
• 2 chicas, 1 chico pueden ser reordenados, y el chico puede tener 3 posiciones (menor, medio o mayor). Una vez que tenemos la posición del chico, se conocen las chicas, por lo que hay 3 posiciones
• 1 niña, 2 niños: misma lógica que la anterior, frecuencia de 3
• 3 niños: como en el caso de las 3 niñas, frecuencia de 1

El total de todos ellos es 8, y el número que coincide con nuestro requisito es 3, lo que da 3/8.

En esta pregunta, el enfoque más fácil y claro era enumerar las permutaciones y contar cuántas coincidían con nuestro requisito. Para problemas más grandes, puede ser más sencillo recoger rápidamente los casos fáciles y luego mirar las permutaciones para un conjunto restringido, o centrarse en las combinaciones posibles. Esto es especialmente cierto cuando hay opciones más complejas en la construcción del conjunto.

Edición: Más sobre combinaciones y permutaciones

@WoJ tiene una pregunta: ¿por qué importa el orden? Supongamos que fueran trillizos.

No digo que el orden cronológico de nacimiento sea lo importante, sólo que hay que etiquetarlos. Generalmente escribimos las permutaciones como una secuencia que corresponde a un ordenamiento de las variables; si lanzo una moneda 3 veces y el resultado es HTH entonces estoy diciendo implícitamente que la secuencia representa los lanzamientos ordenados cronológicamente. Pero podríamos lanzar 3 monedas y ordenarlas por tamaño, o por la edad de la moneda; es sólo una forma de identificar los diferentes lanzamientos para poder contabilizar correctamente las posibilidades.

¡Pero! Debes etiquetarlos antes de considerar cómo aterrizaron . Disponer primero la cara y luego la cruz ya es convertir el resultado de una permutación en una combinación, y hacer las cosas mucho más difíciles al hacer que el resultado dependa de los valores, cuando al principio eran variables independientes. Así que para evaluar la relación entre los lanzamientos originales y las combinaciones resultantes tenemos que etiquetarlas primero o nos daremos un dolor de cabeza.

Podemos ver que lo que importa son las permutaciones y no las combinaciones en el caso de lanzamientos de monedas independientes al azar haciendo este experimento: lance dos monedas y, si caen igual (2H o 2T), marque 1 en la columna "Igual". Si caen de forma diferente (1H 1T), marca 1 en la columna "Diferencia". Si la probabilidad está determinada por las combinaciones, entonces sólo hay una combinación (1H 1T) que dará un resultado "Diferente", frente a 2 (2H y 2T) que dan un resultado "Igual", y después de unas cuantas rondas de lanzamientos deberíamos ver el doble de marcas en la columna "Diferente". No dudes en probar el experimento; hazlo unas 20 veces para que quede claro si la respuesta es más bien 2:1 o 1:1.

Predigo que el resultado será 1:1, porque la probabilidad está en el lanzamiento de la moneda, así que tenemos que buscar ahí la base estadística de nuestros cálculos. La probabilidad es de 50/50 de un solo lanzamiento de moneda independiente. Así que el primer lanzamiento (o el lanzamiento de la moneda más grande o más antigua) es 50/50 H o T. Ahora, dado que el primer lanzamiento fue una cara, ¿cuál será el segundo? Se trata de lanzamientos de monedas independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo del 50/50. Esto nos da un segundo valor. Como se trata de lanzamientos independientes, los etiquetamos de forma diferente y elaboramos una tabla con sus valores o una lista de las permutaciones:

          First
         H    T
2nd  H  0.25 0.25
     T  0.25 0.25

Ahora podemos ver la categorización de estas permutaciones como combinaciones:

       H       T
 H    2H     1H 1T
 T   1H 1T    2T

Así, aunque hay 3 combinaciones etiquetadas (2H, 2T, 1H 1T), no están repartidas uniformemente entre las permutaciones (HH, TT, HT, TH), y ya hemos dicho que en este caso la probabilidad está siendo impulsada por las permutaciones, no por las combinaciones. Por lo tanto, para tener en cuenta correctamente las probabilidades asignadas a esas combinaciones, tenemos que partir de las permutaciones y ver cómo se asignan a las combinaciones; 2 van a convertirse en "1H 1T", y una a "2H" y "2T". ¿Cómo se asignan entonces a las categorías "Igual" y "Diferente"?

     H    T            1H 1T  Diff  = 0.25+0.25
 H   Same Diff   or    2H     Same  = 0.25
 T   Diff Same         2T     Same  = 0.25

Y así tenemos P(Same) = 0,25+0,25 = 0,5 y P(Diff) = 0,25+0,25 = 0,5.

En ningún momento nos ha importado cómo ordenamos las monedas, sólo que podemos identificarlas por separado porque tienen asignadas probabilidades independientes a sus lanzamientos.

¿Hay casos en los que no se puede obtener la respuesta con sólo mirar las permutaciones? Sí, absolutamente. Por ejemplo, las permutaciones no son siempre igual de probables, como ocurre en estos problemas construidos. Los posibles colores de los calcetines de mi cajón pueden ser el amarillo, el verde y el negro, pero tengo muchos más calcetines negros porque el mundo aún no comparte mi fascinación por el verde. Si miráramos las permutaciones de 2 calcetines escogidos del cajón, obtendríamos YY, YG, YB, GY, GG, GB, BY, BG, BB. Si nos limitáramos a mirar ingenuamente las permutaciones, podríamos imaginar que la probabilidad de obtener un par coincidente es de 3/9, o 1/3. Pero no es así, porque hay muchos más calcetines negros.

En cambio, podríamos tener un billete de lotería, que sólo importa la combinación; entonces, mirar las permutaciones sería un ejercicio infructuoso, ya que el proceso de sorteo impone la relación entre la probabilidad y la combinación en lugar de la permutación.

Trillizos por combinación

Para demostrar los problemas de ordenar el resultado del nacimiento del triplete en combinaciones antes de aplicar las probabilidades, vamos a calcularlo así. Lanzamos 3 monedas, e ignorando la cronología las ordenamos con cabezas primero. Los resultados posibles son HHH, HHT, HTT, TTT. 4 combinaciones.

Pero, ¿cómo podemos aplicar nuestra probabilidad de que cada nacimiento sea 50/50? Al reordenar el orden, rompemos la correspondencia entre un nacimiento individual y el elemento de la combinación; esto se ve enseguida en que la única manera de que la primera moneda de nuestro conjunto reordenado sea una T es que las 3 monedas salgan T, y sabemos intuitivamente que eso es mucho menos probable que la probabilidad de que cualquier lanzamiento sea T. ¿Aún así podemos hacerlo? Bueno, sí, pero es complicado.

La primera combinación es HHH. ¿Cuál es la probabilidad de lanzar HHH? Las tiradas son independientes, y estas monedas se pueden reordenar como se quiera, pero siempre tendrá que ser 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125. Así que inmediatamente la combinación HHH tiene una probabilidad de 0,125 en lugar de 0,25. El hecho de que tengamos 4 categorías, no significa que la probabilidad se relacione con ese número de ninguna manera.

El mismo argumento se aplica a la TTT. Así que ahora hemos contabilizado el 0,25 de la probabilidad de la mitad de las combinaciones.

¿Qué pasa con HHT y HTT? Bueno, como las probabilidades de H y T son iguales, podríamos reetiquetar H como T y T como H, o llamar a los lados A y B sin pérdida de generalidad, por lo que las probabilidades deben ser iguales aquí también; ambas combinaciones son 2 de una y 1 de la otra. Así que los 6/8 restantes de la probabilidad nos dan 3/8 para cada opción.

¿Y si H y T no fueran intercambiables? Supongamos que P(H) fuera 3/5 y no 1/2. Vemos que las combinaciones no nos dan una respuesta directa porque no cambian (3H, 2H, 1H, 0H) pero sabemos intuitivamente que las probabilidades de obtener 2H deben depender del sesgo del lanzamiento de la moneda. Aquí tendríamos una probabilidad restante de 1 - 0,4*0,4*0,4 - 0,6*0,6*0,6 = 0,72. Las dos combinaciones restantes son HTT y HHT. Así que sabemos que la primera y la última de esas monedas salieron iguales, y este es el conjunto de lanzamientos que contienen una cara y una cola. Quitando esa cara y esa cola queda el resultado de una sola moneda. No importa en qué orden se lanzaron las monedas, ni siquiera cómo las reordenamos después. La moneda final tiene P(H)=0,6 y P(T)=0,4, por lo que P(H)/P(T) = 1,5. Ya tenemos las otras dos monedas, por lo que tenemos P(2H 1T)/P(1H 2T) = 1,5. Si distribuimos la probabilidad restante de 0,72, tenemos P(2H 1T)+P(1H 2T)=0,72, y podemos sustituir para obtener P(2H 1T)+P(2H 1T)/1,5=0,72, por lo que P(2H 1T)=0,432.

En cambio, para calcular eso a partir de los lanzamientos originales, tenemos:

P(2H,1T) = P(HHT)+P(HTH)+P(THH) 
         = .6*.6*.4 + .6*.4*.6 + .4*.6*.6
         = 0.144 * 3 = 0.432

Así que si tenemos variables independientes (nacimientos, lanzamientos de monedas), es más fácil mirar las permutaciones y recoger las probabilidades de las permutaciones que queremos que empezar por las combinaciones y trabajar hacia atrás para averiguar cómo se relacionan sus probabilidades con las probabilidades de las variables individuales. Pero no es imposible, y en algunos casos es preferible.

TLDR: Lo importante es observar el mecanismo por el que aparece la aleatoriedad en el sistema y, a partir de ahí, medir las probabilidades, ya sea en términos de combinaciones o de permutaciones, pero sin aplicar ciegamente ninguno de los dos, ya que el método depende totalmente del mecanismo de la aleatoriedad. Ambos enfoques pueden funcionar, pero sólo si se contabilizan correctamente las probabilidades según el sistema que se considere.

Answer 5

Una forma sistemática de calcular la respuesta de @probablyme para codificar las letras B (niño) y G (niña) como un número binario de 3 dígitos con el valor lógico 1 para verdadero y 0 para falso ( que el dígito representa un niño ).

Luego hacemos un bucle a través de todas las combinaciones, por ejemplo incrementando en 1 cada paso. $$000\to001\to010\to011\to100\to 101\to110\to111$$

A continuación, contamos que el número total de "unos" es igual a 2. Esto es lo mismo que la función "recuento de población" utilizada en esta pregunta y respuesta .

La salida de la función sería: $$0\to1\to1\to2\to1\to2\to2\to3$$

Y como podemos ver, para 3 de los 8 estados la función evalúa a 2. Esto significa que después de contar todas las posibilidades, encontramos que 3 de los 8 estados equiprobables corresponden a dos chicos. Esto da una probabilidad de $\frac{3}{8}$ .

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El punto fuerte de este enfoque es, por supuesto, que si modificamos la pregunta para tener en cuenta cosas más avanzadas, éstas pueden incluirse con rápidas operaciones lógicas a nivel de bits sobre los números.