Topología de Kelley : Un espacio topológico X es compacto si cada nido de conjuntos cerrados no vacíos tiene una intersección no vacía.

Question

Recordemos que un nido es una familia de conjuntos que se ordena linealmente por inclusión.

Este problema es del problema 5.H de "topología general" de Kelley. la necesidad se desprende de la propiedad de intersección finita (FIP) si X es compacto.

Intento demostrar la suficiencia mediante los siguientes pasos:

1. Si cada nido de conjuntos cerrados no vacíos tiene una intersección no vacía. Sea A una familia de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita.
2. Podemos obtener B como una familia maximal de conjuntos cerrados que contiene a A y tiene la propiedad de intersección finita por el principio maximal de Hausdorff.
3. Sea C un nido máximo en B.

Quiero demostrar que la intersección de los miembros de B no es vacía. Pero me parece difícil realizar los pasos 3 y 4 que pueden llevar a una prueba completa.

Necesito algunas pistas. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{A}=\{X_\alpha:\alpha<\kappa\}$ sea una familia de conjuntos cerrados no vacíos que satisfacen FIP. (Donde $\kappa$ ser un cardenal .) Demostraremos que $\bigcap \mathcal{A}$ es no vacía por inducción transfinita para $\kappa$ .

Si $\kappa$ es finito, entonces $\bigcap{A}$ es no vacía trivialmente. Si se cumple para cada cardinal menor que $\kappa$ entonces podemos comprobar que $$Y_\alpha= \bigcap\{A_\xi:\xi<\alpha\}$$ es no vacía (por hipótesis inductiva). Además, podemos comprobar que $\bigcap_{\alpha<\kappa}X_\alpha=\bigcap_{\alpha<\kappa}Y_\alpha$ y $\{Y_\alpha:\alpha<\kappa\}$ es una cadena decreciente de conjuntos cerrados no vacíos por lo que por hipótesis $\bigcap_{\alpha<\kappa}Y_\alpha\neq\varnothing$ .