¿Inconsistencia en el formalismo lagrangiano frente al hamiltoniano?

Question

¿Pueden los formalismos lagrangiano y hamiltoniano conducir a soluciones diferentes?

Tengo un sistema simple descrito por el Lagrangiano \begin{equation} L(\eta,\dot{\eta},\theta,\dot{\theta})=\eta\dot{\theta}+2\theta^2. \end{equation} Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la ecuación de Euler-Lagrange: \begin{eqnarray} 4\theta-\dot{\eta}=0\; \mathrm{and}\; \dot{\theta}=0, \end{eqnarray} dando lugar a la solución $\eta(t)=4\theta_0t+\eta_0$ donde $\eta_0$ y $\theta_0$ son constantes.

Pero cuando obtengo una de las ecuaciones de movimiento a partir del Hamiltoniano (vía transformación de Legendre), \begin{equation} H=\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\eta}\right)\dot\eta+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)\dot\theta - L =-2\theta^2, \end{equation} \begin{equation} \dot\eta=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=0, \end{equation} la situación es sorprendentemente diferente del enfoque lagrangiano porque $\eta$ ¡es ahora una constante!

¿Puede alguien dar una explicación adecuada a esta incoherencia? ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

El problema aquí es que, al existir restricciones de la forma $f(q,\,p)=0$ las coordenadas del espacio de fase de la formulación hamiltoniana habitual no son independientes. No estoy seguro de cómo te has encontrado con este lagrangiano, pero este problema es un contratiempo común en el electromagnetismo y (si me permites un ejemplo más oscuro) en la cuantificación de BRST. La buena noticia es que todavía se puede formar una descripción hamiltoniana equivalente a la lagrangiana. El truco consiste en añadir términos adecuados al hamiltoniano "ingenuo", como se explica aquí y, como resultado, los soportes de Poisson se convierten en los llamados soportes de Dirac.

Para su problema el Hamiltoniano completo es $H=-2\theta^2+c_1 p_\eta+c_2( p_\theta-\eta)$ donde el $c_i$ quedan por calcular como funciones de las coordenadas del espacio de fase no diferenciadas. De hecho $c_1=\frac{\partial H}{\partial p_\eta}=\dot{\eta}=4\theta$ mientras que $c_2=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dot{\theta}=0$ Así que $H=-2\theta^2+4\theta p_\eta$ . Puedes verificar que esto te da las ecuaciones de movimiento correctas.