Definir: $$d(x,y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|}$$
He demostrado que $(\mathbb{N}, d)$ Es un espacio métrico.
También me han pedido que describa todas las bolas abiertas de radios $1/3, 2/3 $ y $3$ en este espacio métrico.
He comprobado que para $1/3$ , $B(x,1/3) = \{x\}$ ,
para $2/3$ , $B(x,2/3) = \{x-1,x,x+1\}$
para $3$ , $B(x,3) = \mathbb{N}$ . Creo que todo esto es correcto.
Para la parte final se me pide que demuestre que todo conjunto en este espacio métrico es abierto y cerrado.
Estoy teniendo problemas aquí. Sé que tengo que demostrar que $\exists r > 0$ tal que $B(x,r) \subset X$ donde X es un conjunto tal que $(X,d)$ es una métrica. ¿Podría alguien proporcionar una solución a esto o ayudarme a encontrar esto $r$ ? Entonces tengo que demostrar que el complemento de $X$ está abierto, lo que tampoco estoy seguro de hacer.
Como referencia, esta es una pregunta de Rudin Principios del análisis matemático . No encuentro ninguna solución al respecto y llevo unos días atascado.
