Vector semidefinido positivo $\bar{x}$ como $\bar{x}>0 :=\bar{x} \lambda \bar{x}^{T}>0$ ?

Question

$A \lambda A^{T} $ (¿forma cuadrática?) se utiliza con matrices para comprobar la definición. ¿Y con vectores? Si veo condiciones como $\bar{x} > 0$ ¿Cómo puedo saber si significa $\bar{x}_{i} > 0 \quad \forall i \in I$ o $\bar{x}:=\bar{x} \lambda \bar{x}^{T}>0$ ?

Estoy tratando de entender las condiciones en el problema de optimización de enteros de forma estándar donde veo estos casos:

$$ \text{minimize }\ \ \bar{c}^{T}\bar{x} + \bar{d}^{T}\bar{y}$$

para que $$A\bar{x} + B\bar{y} = b$$ $$\bar{x}, \bar{y} \geq 0$$ y $\bar{y}$ es continua.

Answer 1

En el contexto de la programación lineal (o entera mixta) la desigualdad $x\geq 0$ se entiende siempre en el sentido de "componente", es decir $x_i\geq 0$ para todos $i$ .

Nótese que para las matrices hay que ser aún más cauteloso, ya que existen las nociones de "positiva definida" (de denotan $A\succ 0$ ), "positivo" o incluso "positivo total", que son todos diferentes.

En el contexto de la programación semidefinida a menudo se tienen restricciones de positividad para los vectores (algo denotado por $Ax\geq 0$ ) y restricciones de semidefinición positiva (algo que se denota con $B\succcurlyeq 0$ ).