¿Cuál es la función de partición para $N$ bosones en un sistema de dos estados con $E_1=0$ y $E_2= E$ ? Sé que los bosones no obedecen el principio de exclusión de Pauli y que son indistinguibles pero tengo dudas cuando se trata de que sean indistinguibles por lo que tengo que excluir los casos en los que $x$ cantidad de partículas están en el estado $E_1$ y $y$ cantidad de partículas en $E_2$ es lo mismo que $y$ cantidad de partículas están en $E_1$ y $x$ cantidad están en $E_2$ . ¿Cómo se tiene esto en cuenta al escribir la expresión?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para un sistema de $N$ bosones indistinguibles y dos estados de una sola partícula (por ejemplo, lugares de la red), tenemos $N+1$ estados de base que podemos enumerar de la siguiente manera: $\{|N-m,m\rangle\}_m$ , donde $m=0,\ldots,N$ . En el estado de base $|N-m,m\rangle$ hay $N-m$ bosones en el estado de una sola partícula $1$ y $m$ bosones en el estado de una sola partícula $2$ . El Hamiltoniano $$\hat{H} = E_1\, \hat{n}_1 + E_2\, \hat{n}_2 \quad,$$ describe un sistema de bosones que no interactúan. Aquí, el operador $\hat{n}_i$ cuenta el número de bosones en el estado de una sola partícula $i=1,2$ . Nótese que, en particular, la base introducida anteriormente es una base propia de este hamiltoniano. Definimos la función de partición asociada a $\hat{H}$ como $$ Z\equiv \mathrm{Tr}\,e^{-\beta\hat{H}} \quad .$$ Utilizando las consideraciones anteriores, obtenemos $$ Z= e^{-\beta N E_1}\,\sum\limits_{m=0}^{N}\left(e^{-\beta (E_2-E_1)}\right)^m \quad .\tag{1}\label{1}$$ Observamos que el $n$ -suma parcial de la serie geométrica para $q\neq1$ está dada por: $$ s_n \equiv \sum\limits_{k=0}^n q^k= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad .$$
Sustituyendo $n\rightarrow N$ , $q\rightarrow e^{-\beta (E_2-E_1)}$ y $k\rightarrow m$ finalmente produce $$Z = e^{-\beta N E_1} \, \left(\frac{1-e^{-\beta (E_2-E_1)(N+1)}}{1-e^{-\beta (E_2-E_1)}}\right) \quad. $$
Editar : Con respecto a su comentario: ¿Cómo se obtiene la ecuación $(1)$ ?
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la energía de un estado base $|N-m,m\rangle$ viene dada por $$ \epsilon_m\equiv \langle N-m,m|\hat{H}|N-m,m\rangle \quad.$$ Esto da como resultado $\epsilon_m = E_1\, (N-m) + E_2 \,m$ . Estos son los valores propios del Hamiltoniano.
En segundo lugar, la función de partición se define como la traza del hamiltoniano exponenciado. A grandes rasgos, esto significa que debemos sumar sobre todos los valores de expectativa de este hamiltoniano exponenciado, es decir, tenemos que calcular:
$$Z = \sum\limits_{m=0}^N \langle N-m,m|e^{-\beta\hat{H}}|N-m,m\rangle \quad. $$ Esto se puede reescribir como (esto debería estar cubierto en cualquier libro de texto de mecánica cuántica o física estadística) $$ Z = \sum\limits_{m=0}^N e^{-\beta \epsilon_m} \quad .$$ En otras palabras, la función de partición viene dada por la suma de los valores propios exponenciados del hamiltoniano.
Como paso final, sustituya la expresión de $\epsilon_m$ con el valor que hemos obtenido anteriormente. A continuación, utilice las reglas simples de la función exponencial para obtener la ecuación $(1)$ .
Una observación: En realidad, la traza de un operador es independiente de la base que elijamos. Pero la base elegida es, por supuesto, la más conveniente.
