¿Cómo puedo calcular $\lim_{|r|\to\infty}\int_{\Bbb R}|f(x+r)+f(x)|^p\ dx$ con $f\in L^p$ ?

Question

Este es un ejercicio de análisis real:

Supongamos que $f\in L^p(\Bbb{R})$ para $1\leq p<\infty$ . Calcula $$ \lim_{|r|\to\infty}\int_{\Bbb R}|f(x+r)+f(x)|^p\ dx. $$

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Para $p=1$ y no negativo $f$ se obtiene $2\|f\|_{L^1}^1$ . Para $p=2$ , $$ \begin{align} \int |f(x+r)+f(x)|^2\ dx&=\int f^2(x+r)+2f(x+r)f(x)+f^2(x)\ dx\\ &=2\|f\|_{L^2}^2+2\int f(x+r)f(x)dx. \end{align} $$ Entonces se puede tratar el segundo término de la última igualdad con el teorema de convergencia dominada. Pero no veo cómo hacer el caso general. $2\|f\|_p^p$ podría ser una suposición razonable.

Answer 1

El límite es efectivamente $2\|f\|_p^p$ . Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Podemos descomponer $f$ como $g + h$ , donde $g$ tiene un soporte compacto en $\Bbb R$ y $\|h\|_p < \varepsilon$ . Definir el operador de traslación $T_rh(x) := h(x + r)$ . Elija un número entero positivo $k$ tal que para $|r| > k$ El apoyo de $T_rg$ es disjunta del soporte de $g$ . Por lo tanto, para $|r| > k$ ,

\begin{align}\int_{\Bbb R} |g(x + r) + g(x)|^p\, dx &= \int_{\operatorname{supp}(g)}|g(x+r) + g(x)|^p\, dx + \int_{\operatorname{supp}(T_rg)} |g(x + r) + g(x)|^p\, dx\\ &= \int_{\operatorname{supp}(g)} |g(x)|^p\, dx + \int_{\operatorname{supp}(T_rg)} |g(x + r)|^p\\ &= \int_{\Bbb R} |g(x)|^p + \int_{\Bbb R} |g(x + r)|^p\\ &= \int_{\Bbb R} |g(x)|^p + \int_{\Bbb R} |g(x)|^p\\ &= 2\|g\|_p^p. \end{align}

En otras palabras, $$\|T_rg + g\|_p = 2^{1/p}\|g\|_p\quad \text{if}\quad |r| > k.$$ Por la desigualdad del triángulo, si $|r| > k$ entonces

\begin{align} \|T_rf + f\|_p - 2^{1/p}\|f\|_p & = \|(T_r g + g) + (T_rh + h)\|_p - 2^{1/p}\|g + h\|_p\\ & \le \|T_rg + g\|_p + \|T_rh + h\|_p - 2^{1/p}(\|g\|_p - \|h\|_p)\\ & \le (\|T_rg + g\|_p - 2^{1/p}\|g\|_p) + (\|T_rh + h\|_p + 2^{1/p}\|h\|_p)\\ & \lesssim_p \varepsilon \end{align}

y

\begin{align} \|T_rf + f\|_p - 2^{1/p}\|f\|_p &= \|(T_rg + g) + (T_rh + h)\|_p - 2^{1/p}\|g + h\|_p\\ &\ge \|T_rg + g\|_p - \|T_rh + h\|_p - 2^{1/p}(\|g\|_p + \|h\|_p)\\ &= (\|T_rg + g\|_p - 2^{1/p}\|g\|_p) - (\|T_rh + h\|_p + 2^{1/p}\|h\|_p)\\ &\gtrsim_p -\varepsilon. \end{align}

Así,

$$\Bigl|\|T_rf + f\|_p - 2^{1/p}\|f\|_p\Bigr| \lesssim_p \varepsilon \quad (|r| > k),$$ que muestra que $\|T_rf + f\|_p \to 2^{1/p}\|f\|_p$ como $|r| \to \infty$ . Esto implica

$$\lim_{|r|\to \infty} \int_{\Bbb R} |f(x + r) + f(x)|^p = 2\|f\|_p^p.$$

Nota. Utilizando este resultado, se puede mostrar el operador de Schroedinger $e^{it\Delta} : L^p(\Bbb R) \to L^q(\Bbb R)$ no es continua para cualquier triple $(p,q,t)$ Satisfaciendo a $1 \le q < p < \infty$ y $t\in \Bbb R\setminus\{0\}$ .