¿Cuándo los eigenkets de un operador forman una(n) base (ortogonal) para el espacio de Hilbert? ¿Es siempre el caso cuando el operador es hermitiano? ¿Es necesario que el operador sea hermitiano?
Respuestas
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Kevin Zhou
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Restringiendo a espacios de Hilbert de dimensión finita, se tiene una base completa de eigenkets ortonormales si y sólo si el operador es normal lo que significa que conmuta con su adjunto, $[A, A^\dagger] = 0$ .
En particular, los operadores hermitianos son normales ya que son iguales a sus adyacentes, los operadores antihermitianos son normales y los operadores unitarios son normales ya que $[A, A^\dagger] = [A, A^{-1}] = 0$ . Eso cubre la mayoría de las opciones que se ven en las clases de mecánica cuántica.
En el caso de las dimensiones infinitas, hay muchas más sutilezas, que sinceramente no entiendo en absoluto. Sin embargo, nunca he visto una configuración realista en la que las sutilezas hagan que uno obtenga una respuesta física incorrecta, siempre y cuando se siga el olfato.
RedRose23
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¿Es necesario que el operador sea hermético?
No, no es necesario que el operador sea hermético. Aquí hay un ejemplo .
¿Es siempre el caso cuando el operador es hermitiano?
No, el operador también tiene que ser compacto . Sin embargo, en el caso finito, no se necesita esta hipótesis adicional.
¿Cuándo los eigenkets de un operador forman una base para el espacio de Hilbert?
¿Cuándo es ortogonal esta base?
En general, el Teorema Espectral (al menos, la versión útil para el estudio de los espacios de Hilbert en mecánica cuántica) nos dice que si un operador es compacto y normal, sus eigenkets formarán una base ortonormal para el espacio de Hilbert (véase Teoría espectral de Kowalski , p. 20). No sé si se podría encontrar una versión diferente del Teorema Espectral, con hipótesis más débiles, que no te dé la ortonormalidad, pero no veo por qué sería útil.
