Verificación: " $A\subseteq\mathbb{R}$ , $f: A\to \mathbb{R}$ entonces $f$ es cont. si $f^{-1}(O)$ abrir en $A$ , $\forall O \subseteq \mathbb{R}$ abierto"

Question

Espero que todo vaya bien para todos. Espero recibir algunos comentarios aquí sobre la exactitud, la cohesión y la superfluidad de mi intento de resolver el siguiente problema. También, por favor, critiquen mi redacción de pruebas tanto como sea posible; realmente valoro el escrutinio.

Problema

Para los no vacíos $A \subseteq \mathbb{R}$ , dejemos que $f:A \to \mathbb{R}$ sea una función. Demostración de que $f$ es continua si y sólo si para cada $O \subseteq \mathbb{R}$ la preimagen $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ .

Definiciones

Abierto en relación con : Si $A \subseteq B \subseteq \mathbb{R}$ entonces $A$ se llama relativamente abierta en $B$ si $\forall x \in A$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap B \subseteq A$ .

Continuo : Para los no vacíos $A \subseteq \mathbb{R}$ , dejemos que $f:A \to \mathbb{R}$ sea una función. $f$ es continua en $x \in A$ si para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $A \cap \mathcal{B}_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ .

Intento

$\text{ }$ ( $\Longrightarrow$ ) Deja que $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea continua. Queremos demostrar que $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ . $\text{ }$ Consideremos un conjunto abierto arbitrario $O \subseteq \mathbb{R}$ . Para todos los $x' \in f^{-1}(O)$ tenemos que $f(x') \in O$ y como $O$ está abierto, esto significa que $\forall f(x') \in O$ , $\exists \epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x')) \subseteq O$ . Que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x')) \subseteq O$ implica $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O)$ . Sabemos que $f^{-1}(O) \subseteq A$ , por lo que tenemos $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O) \subseteq A$ . Desde $f$ es continua en $x \in A$ tenemos $\forall \epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . Esto significa que $\forall x' \in f^{-1}(O)$ , $\exists \delta > 0$ tal que $$\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O)$$ que nos proporciona la relación $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(O)$ . Desde $O \subseteq \mathbb{R}$ era arbitraria, tenemos que $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ para cualquier $O \subseteq \mathbb{R}$ .

$\text{ }$ ( $\Longleftarrow$ ) Deja que $O \subseteq \mathbb{R}$ sea un conjunto abierto arbitrario y que $f^{-1}(O)$ estar abierto en $A \subseteq \mathbb{R}$ . Queremos demostrar que $f$ es continua en $x \in A$ . $\text{ }$ Supongamos, en aras de la contradicción, que $f$ no es continua en $x \in A$ es decir $\exists \epsilon > 0$ , de tal manera que $\forall \delta > 0$ tenemos $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . $\text{ }$ Dado que $f^{-1}(O)$ estar abierto en $A$ tenemos que $\forall x \in f^{-1}(O)$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \subseteq f^{-1}(O)$ . Que $O$ es abierto implica que para cada $f(x) \in O$ , $\exists \epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)) \subseteq O$ . Tomando la preimagen de ambos lados, obtenemos que $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x))) \subseteq f^{-1}(O)$ . Desde $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ también está abierto, sabemos que para todo $x' \in f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , lo que significa que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , una contradicción ya que asumimos que para todos los valores de $\delta > 0$ , $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . Así, $f$ es continua en $x \in A$ .

Preguntas

¿Es esto cierto, debería expresarlo de otra manera, y es realmente necesario mencionarlo? "Sabemos que $f^{-1}(O) \subseteq A$ , por lo que tenemos $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O) \subseteq A$ ."

¿Existen imprecisiones en esta declaración? "...sabemos que para todos $x' \in f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , lo que significa que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , una contradicción ya que asumimos que para todos los valores de $\delta > 0$ , $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ ."

Answer 1

El $\Leftarrow$ dirección no necesita una prueba por contradicción: Para ver que $f$ es continua en $x \in A$ : considerar $N_\epsilon(f(x))$ que es un subconjunto abierto de $\Bbb R$ Así que, por supuesto $f^{-1}[N_\epsilon(f(x))]$ está abierto en $A$ y contiene $x$ . Por lo tanto, según la definición de ser relativamente abierto, hay algo de $\delta >0$ para que $(x \in ) N_\delta(x) \cap A \subseteq f^{-1}[N_\epsilon(f(x)]$ y así terminamos de mostrar la continuidad en $x$ . Mucho más corto y directo.

Answer 2

Aquí proporciono una forma alternativa de expresar la prueba con la que puedes comparar.

Demostremos la implicación $(\Rightarrow)$ primero.

Dejemos que $f:(X,d_{X})\to(Y,d_{Y})$ sea una función continua entre espacios métricos.

Además, consideremos también un conjunto abierto $\mathcal{O}\subseteq Y$ . Debemos demostrar que $f^{-1}(\mathcal{O})$ también está abierto.

Más precisamente, esto equivale a demostrar que todo punto $x\in f^{-1}(\mathcal{O})$ es un punto interior.

Efectivamente, este es el caso. Dado que $x\in f^{-1}(\mathcal{O})$ podemos concluir que $f(x)\in\mathcal{O}$ .

Pero también se sabe que $\mathcal{O}$ está abierto. En consecuencia, corresponde una bola abierta $N_{\varepsilon}(f(x))\subseteq\mathcal{O}$ .

Por otro lado, $f$ es continua. Esto significa que corresponde una bola abierta $N_{\delta}(x)\subseteq X$ tal que $$\begin{align*} a\in N_{\delta}(x) \Rightarrow f(a)\in N_{\varepsilon}(f(x))\subseteq\mathcal{O} \Rightarrow a\in f^{-1}(\mathcal{O}) \end{align*}$$

En otras palabras, acabamos de demostrar que $x$ es un punto interior, porque $N_{\delta}(x)\subseteq f^{-1}(\mathcal{O})$ .

Ahora podemos demostrar la implicación $(\Leftarrow)$

Tome un $\varepsilon > 0$ y algunos $x\in X$ que podemos asociar a la bola abierta $N_{\varepsilon}(f(x))$ .

A partir de la hipótesis propuesta, sabemos que $f^{-1}(N_{\varepsilon}(f(x)))$ está abierto.

Por lo tanto, existe un $\delta > 0$ tal que $N_{\delta}(x)\subseteq f^{-1}(N_{\varepsilon}(f(x))$ .

Reuniendo todos los resultados, podemos concluir que para cada $\varepsilon > 0$ y $x\in X$ , corresponde un $\delta > 0$ tal que $$\begin{align*} a\in N_{\delta}(x) \Rightarrow a\in f^{-1}(N_{\varepsilon}(f(x))) \Rightarrow f(a) \in N_{\varepsilon}(f(x)) \end{align*}$$ y $f$ es continua.

Espero que esto ayude.