Espero que todo vaya bien para todos. Espero recibir algunos comentarios aquí sobre la exactitud, la cohesión y la superfluidad de mi intento de resolver el siguiente problema. También, por favor, critiquen mi redacción de pruebas tanto como sea posible; realmente valoro el escrutinio.
Problema
Para los no vacíos $A \subseteq \mathbb{R}$ , dejemos que $f:A \to \mathbb{R}$ sea una función. Demostración de que $f$ es continua si y sólo si para cada $O \subseteq \mathbb{R}$ la preimagen $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ .
Definiciones
Abierto en relación con : Si $A \subseteq B \subseteq \mathbb{R}$ entonces $A$ se llama relativamente abierta en $B$ si $\forall x \in A$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap B \subseteq A$ .
Continuo : Para los no vacíos $A \subseteq \mathbb{R}$ , dejemos que $f:A \to \mathbb{R}$ sea una función. $f$ es continua en $x \in A$ si para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $A \cap \mathcal{B}_{\delta}(x) \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ .
Intento
$\text{ }$ ( $\Longrightarrow$ ) Deja que $f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea continua. Queremos demostrar que $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ . $\text{ }$ Consideremos un conjunto abierto arbitrario $O \subseteq \mathbb{R}$ . Para todos los $x' \in f^{-1}(O)$ tenemos que $f(x') \in O$ y como $O$ está abierto, esto significa que $\forall f(x') \in O$ , $\exists \epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x')) \subseteq O$ . Que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x')) \subseteq O$ implica $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O)$ . Sabemos que $f^{-1}(O) \subseteq A$ , por lo que tenemos $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O) \subseteq A$ . Desde $f$ es continua en $x \in A$ tenemos $\forall \epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . Esto significa que $\forall x' \in f^{-1}(O)$ , $\exists \delta > 0$ tal que $$\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O)$$ que nos proporciona la relación $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(O)$ . Desde $O \subseteq \mathbb{R}$ era arbitraria, tenemos que $f^{-1}(O)$ está abierto en relación con $A$ para cualquier $O \subseteq \mathbb{R}$ .
$\text{ }$ ( $\Longleftarrow$ ) Deja que $O \subseteq \mathbb{R}$ sea un conjunto abierto arbitrario y que $f^{-1}(O)$ estar abierto en $A \subseteq \mathbb{R}$ . Queremos demostrar que $f$ es continua en $x \in A$ . $\text{ }$ Supongamos, en aras de la contradicción, que $f$ no es continua en $x \in A$ es decir $\exists \epsilon > 0$ , de tal manera que $\forall \delta > 0$ tenemos $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . $\text{ }$ Dado que $f^{-1}(O)$ estar abierto en $A$ tenemos que $\forall x \in f^{-1}(O)$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \subseteq f^{-1}(O)$ . Que $O$ es abierto implica que para cada $f(x) \in O$ , $\exists \epsilon > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)) \subseteq O$ . Tomando la preimagen de ambos lados, obtenemos que $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x))) \subseteq f^{-1}(O)$ . Desde $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ también está abierto, sabemos que para todo $x' \in f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , lo que significa que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , una contradicción ya que asumimos que para todos los valores de $\delta > 0$ , $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ . Así, $f$ es continua en $x \in A$ .
Preguntas
¿Es esto cierto, debería expresarlo de otra manera, y es realmente necesario mencionarlo? "Sabemos que $f^{-1}(O) \subseteq A$ , por lo que tenemos $f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x'))) \subseteq f^{-1}(O) \subseteq A$ ."
¿Existen imprecisiones en esta declaración? "...sabemos que para todos $x' \in f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , lo que significa que $\mathcal{B}_{\delta}(x') \cap A \subseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ , una contradicción ya que asumimos que para todos los valores de $\delta > 0$ , $\mathcal{B}_{\delta}(x) \cap A \nsubseteq f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x)))$ ."
