¿Hallar la expectativa matemática del proceso dado?

Question

$$E[\cos(2\pi t+\theta)\sin(2\pi f(t+\tau)+\theta)]$$ donde $$f=a+b\cos(\alpha)$$ y $\alpha$ se distribuye uniformemente en el intervalo (0, $\pi$ ). $a$ y $b$ son constantes

Mi enfoque: $$=\cos(2\pi t+\theta)E[\sin(2\pi f(t+\tau)+\theta)]$$ $$=\cos(2\pi t+\theta)E[\sin(2\pi (a+b\cos(\alpha))(t+\tau)+\theta)]$$ $$=\cos(2\pi t+\theta)E[\sin(2\pi a(t+\tau)+2\pi b\cos(\alpha)(t+\tau)+\theta)]$$ $$=\cos(2\pi t+\theta)\int\limits_{0}^{\pi} \sin(2\pi a(t+\tau)+2\pi b\cos(\alpha)(t+\tau)+\theta)\frac{1}{\pi}d\alpha$$ $$\bigg/ 2\pi a(t+\tau)+2\pi b\cos(\alpha)(t+\tau)+\theta=x /d \bigg/$$ $$\bigg/d\alpha=-\frac{dx}{2\pi b\sin(\alpha)}\bigg/$$ $$=\cos(2\pi t+\theta)\frac{1}{2\pi^2 b\sin(\alpha)}\Big[\cos( 2\pi a(t+\tau)- 2\pi b(t+\tau)+\theta)-\cos( 2\pi a(t+\tau)+ 2\pi b(t+\tau)+\theta)\Big]$$ después de aplicar: $$\cos x-\cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$ Lo entiendo: $$=\frac{\sin(2\pi a(t+\tau)+\theta)\sin(2\pi b(t+\tau))}{\pi^2b \sin(\alpha)}$$
¿Estoy equivocado o es correcto? Para mí la solución parece un poco larga y esperaba una solución más sencilla. Tal vez hay algunas propiedades que he pasado por alto. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Empezando por la parte integral de su 4ª línea.

$\int\limits_{0}^{\pi} \sin(2\pi a(t+\tau)+2\pi b\cos(\alpha)(t+\tau)+\theta)d\alpha$ $=\int\limits_{0}^{\pi} \sin(A + B cos(\alpha))d\alpha$ $=\pi \sin(A)J_0(B)$

Con $J_0$ siendo una función de Bessel del primer tipo. He hecho trampas y he utilizado Wolfram alpha para hacer la integral, pero está más o menos en la forma estándar para dicha integral. Así que poniendo todo junto.

$E[\cos(2\pi t+\theta)\sin(2\pi f(t+\tau)+\theta)]= \cos(2\pi t+\theta)\sin(2\pi a(t+\tau)+\theta)J_0(2\pi b(t+\tau))$